2019　青山学院大学　経済学部A，B方式MathJax

【１】(1)　$x={\displaystyle \frac{3＋\sqrt{5}}{2}}$のとき，$x+{\displaystyle \frac{1}{x}}$の値は$\boxed{\text{1}}\text{，}$$x^2+{\displaystyle \frac{1}{x^2}}$の値は$\boxed{\text{2}}\text{，}$$x^3+{\displaystyle \frac{1}{x^3}}$の値は$\boxed{\text{3}\text{4}}$である．

【１】(2)　${\displaystyle \frac{\cos \theta }{1+\sin \theta }}+{\displaystyle \frac{\cos \theta }{1-\sin \theta }}=2\sqrt{3}$のとき，$\cos \theta$の値は${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{5}}}}{\boxed{\text{6}}}}$である．

【１】(3)　実数を係数とする整式$P(x)=-x^4+5x^2-\boxed{\text{7}\text{8}}{z}^2+\boxed{\text{9}\text{10}}x-\boxed{\text{11}}$は，$P(-1)=-30$を満たす．$P(x)=0$の解をそれぞれ${\theta }_1\text{，}$${\theta }_2\text{，}$${\theta }_3\text{，}$${\theta }_4$として，${\theta }_1=1+i$および${\theta }_3<{\theta }_4$であるとき，${\theta }_2=\boxed{\text{12}}-i\text{，}$${\theta }_3=\boxed{\text{13}}\text{，}$${\theta }_4=\boxed{\text{14}}$である．

【１】(4)　関数$f(x)=x^4-2x^3-\boxed{\text{15}\text{16}}{x}^2-\boxed{\text{17}\text{18}}x-\boxed{\text{19}\text{20}}$の最小値は$-250$である．さらに$f(x)$は合計$3$つの極値をとり，そのうち$2$つは$x=-1$または$x=-{\displaystyle \frac{3}{2}}$で極値をとる．$f(x)=0$の異なる$3$つの解を${\omega }_1\text{，}$${\omega }_2\text{，}$${\omega }_3$としたとき，${\omega }_1=\boxed{\text{21}}-\sqrt{\boxed{\text{22}\text{23}}}\text{，}$${\omega }_2=\boxed{\text{24}\text{25}}\text{，}$${\omega }_3=\boxed{\text{26}}+\sqrt{\boxed{\text{27}\text{28}}}$である．ただし${\omega }_1<{\omega }_2<{\omega }_3$とする．

【２】(1)　次の問いに答えよ．ただし，${\log }_{10}2=0.3010\text{，}$${\log }_{10}3=0.4771$とする．

1.　${18}^{30}$は$\boxed{\text{29}\text{30}}$桁の整数である．

2.　${18}^{30}$の最高位の数字は$\boxed{\text{31}}$である．

【２】(2)　正三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CA}$の中点をそれぞれ$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}$とし，$\mathrm{AD}$と$\mathrm{BE}$の交点を$\mathrm{F}\text{，}$線分$\mathrm{AF}$の中点を$\mathrm{G}\text{，}$$\mathrm{CG}$と$\mathrm{BE}$の交点を$\mathrm{H}$とする．$\mathrm{AB}=1$のとき，次の四角形の面積を求めよ．

1.　四角形$\mathrm{AGHE}$${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{32}}}}{\boxed{\text{33}\text{34}}}}$

2.　四角形$\mathrm{FDCH}$${\displaystyle \frac{\boxed{\text{35}}\sqrt{\boxed{\text{36}}}}{\boxed{\text{37}\text{38}}}}$

【２】(3)　正の実数の等比数列$\{a_n\}$が，

$a_1+a_2+\cdots +a_5=4\text{，}$

${\displaystyle \frac{1}{a_1}}+{\displaystyle \frac{1}{a_2}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{a_5}}=9$

となるとき，積$a_1{a}_2\cdots a_n$の値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{39}\text{40}}}{\boxed{\text{41}\text{42}\text{43}}}}$である．

【２】(4)　${\displaystyle {\int }_0^1}|{\displaystyle \frac{x}{a}}-1|\mathit{dx}\leqq {\displaystyle \frac{4}{5}}$を満たす$a$の範囲は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{44}}-\sqrt{\boxed{\text{45}\text{46}}}}{\boxed{\text{47}\text{48}}}}\leqq a\leqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{49}}}{\boxed{\text{50}}}}$である．

【３】(1)　さいころを$3$回投げたときの，それぞれの目を$x\text{，}$$y\text{，}$$z$とする．

1.　$xyz$が偶数となる確率は，${\displaystyle \frac{\boxed{\text{51}}}{\boxed{\text{52}}}}$である．

2.　$x+y+z$が偶数となる確率は，${\displaystyle \frac{\boxed{\text{53}}}{\boxed{\text{54}}}}$である．

【３】(2)　$\mathrm{A}$君は，友人の$\mathrm{B}$君と$\mathrm{C}$君と試合をすることになった．$\mathrm{B}$君と$\mathrm{C}$君はケーキを持っていて，自分たちと$3$回試合をして$2$連勝した時点でケーキをあげるという．$\mathrm{A}$君の対戦順序には$2$つの選択肢があり，「$\mathrm{B}$君-$\mathrm{C}$君-$\mathrm{B}$君」，または「$\mathrm{C}$君-$\mathrm{B}$君-$\mathrm{C}$君」の順である．$\mathrm{A}$君が$\mathrm{B}$君に勝つ確率は${\displaystyle \frac{1}{3}}\text{，}$$\mathrm{C}$君に勝つ確率は${\displaystyle \frac{1}{2}}$とし，次の場合の確率を求めよ．

1.「$\mathrm{B}$君-$\mathrm{C}$君-$\mathrm{B}$君」の順で対戦するとき，$\mathrm{A}$君がケーキをもらえる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{55}}}{\boxed{\text{56}\text{57}}}}$である．

2.　$\mathrm{A}$君は，$\mathrm{C}$君の方が勝ちやすいと考えて，$\mathrm{C}$君とより多く対戦する「$\mathrm{C}$君-$\mathrm{B}$君-$\mathrm{C}$君」の順が有利だと考えた．「$\mathrm{C}$君-$\mathrm{B}$君-$\mathrm{C}$君」の順で対戦するとき，$\mathrm{A}$君がケーキをもらえる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{58}}}{\boxed{\text{59}}}}$である．

【３】(3)　ある工場で生産された製品の中から$100$個を無作為に選んで調べたところ，重さの平均が$30\mathrm{g}$であった．母標準偏差を$5\mathrm{g}$として，この工場の全製品の重さの平均$m$に対する信頼度$95\mathrm{\%}$の信頼区間は

$\boxed{\text{60}\text{61}}.\boxed{\text{62}}\leqq m\leqq \boxed{\text{63}\text{64}}.\boxed{\text{65}}$

である．ただし，小数第$2$位を四捨五入して，小数第$1$位まで求めよ．

【３】(4)　二項係数${}_{n}C_r$$\text{（}0\leqq r\leqq n\text{）}$に関する次の問いに答えよ．

1.　 ${\displaystyle \frac{{}_{16}C_0+{}_{16}C_1+{}_{16}C_2+{}_{16}C_3+\cdots +{}_{16}C_{16}}{1024}}$$=\boxed{\text{66}\text{67}}$となる．

2.　${\displaystyle \frac{2{}_{43}C_1+4{}_{43}C_2+6{}_{43}C_3+8{}_{43}C_4+\cdots +86{}_{43}C_{43}}{{}_{43}C_1+{}_{43}C_3+{}_{43}C_5+{}_{43}C_7+\cdots +{}_{43}C_{43}}}$$=\boxed{\text{68}\text{69}}$となる．

【４】　$n$個の正の実数$x_1\text{，}$$x_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$x_n$のうち，正の実数$a$より大きいものが全部で$q$個$\text{（}0\leqq q\leqq n\text{）}$存在するとする．