2019　青山学院大学　社会情報学部B方式MathJax

(1)　サイコロを$2$回投げた結果，最初に$\mathrm{A}$が持っていたプレゼントを$\mathrm{B}$が持っている確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{1}}}{\boxed{\text{2}}}}$である．

(2)　サイコロを$n$回投げた結果，最初に$\mathrm{A}$が持っていたプレゼントを$\mathrm{A}$が持っている確率を$p_n$とする．このとき，

$p_{n+1}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{3}}}{\boxed{\text{4}}}}{p}_n+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{5}}}{\boxed{\text{6}}}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

が成立する．

(3)　サイコロを$n$回投げた結果，最初に$\mathrm{A}$が持っていたプレゼントを$\mathrm{A}$が持っている確率は$p_n={\displaystyle \frac{\boxed{\text{7}}}{\boxed{\text{8}}}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{9}}}{\boxed{\text{10}}}}{\left({\displaystyle \frac{\boxed{\text{11}}}{\boxed{\text{12}}}}\right)}^n$である．

$l_1\text{：}y=-x+a$

$l_2\text{：}y={\displaystyle \frac{1}{2}}x+b$

$l_3\text{：}y=x+1$

で囲まれる図形を$D$とする．ただし，$3$直線が$1$点で交わるときは，その交点を$\mathrm{D}$とする．また，連立不等式

$\{\begin{array}{l}\left|x\right|\leqq 2\\ \left|y\right|\leqq 2\end{array}$

の表す領域を$R$とする．

(1)　$a=1$のとき，領域$D$が領域$R$に含まれるような$b$の値の範囲は，$\boxed{\text{13}}\leqq b\leqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{14}}}{\boxed{\text{15}}}}$である．

(2)　直線$l_1$と$l_2$の交点が直線$y=x$上にあるとき，領域$D$の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{16}}}{\boxed{\text{17}}}}$である．

(1)　関数$y=f(x)$のグラフをかけ，

(2)　関数$y=f(x)+f(x-2)$のグラフをかけ．

(3)　定数$k$が$0<k<2$を満たすとき，関数$y=f(x)+f(x-2)$のグラフと直線$y=k$で囲まれる$3$つの部分のうち，直線$y=k$より上にある$2$つの部分の面積の和と下にある$1$つの部分の面積が等しくなる$k$の値を求めよ．

${\displaystyle \frac{1}{e^{2a}}}+{\displaystyle \frac{a}{e^{2a}}}+{\displaystyle \frac{a^2}{e^{2a}}}+\cdots +{\displaystyle \frac{a^{n-1}}{e^{2a}}}+\cdots$

　ただし，$e$は自然対数の底とする．

(1)　この無限級数が収束する$a$の値の範囲を求めよ．

(2)　(1)で求めた範囲の$a$に対し，この無限級数の和$S$を求めよ．

(3)　実数$a$が(1)で求めた範囲を動くとき，この無限級数の和$S$の最大値，最小値を求めよ．ただし，存在しないときはそのように答えよ．

$f(x)=a\cos x+b\sin x+1$

について，以下の問に答えよ．

(1)　定験分${\displaystyle {\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}}f(x)\mathit{dx}$を求めよ．

(2)　定微分${\displaystyle {\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}}xf(x)\mathit{dx}$を求めよ．

(3)　すべての定数$p\text{，}$$q$に対して，

${\displaystyle {\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}}(px+q)f(x)\mathit{dx}=0$

が成立するような$a\text{，}$$b$の値を求めよ．また，このとき${\displaystyle {\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}}{\{f(x)\}}^2\mathit{dx}$を求めよ．