2019　青山学院大学　社会情報学部A方式MathJax

2019-13301-0501

2019　青山学院大学　社会情報学部A方式

2月14日実施

易□　並□　難□

【１】　 $A ，$ $B$ $2$ 人が，次のようなゲームを行う．初めに $A$ は同じ大きさの白玉 $3$ 個と黒玉 $2$ 個が入った，中の見えない袋を持ち， $B$ は同じ大きさの白玉 $2$ 個と黒玉 $3$ 個が入った，中の見えない袋を持っている． $A ，$ $B$ が同時に自分の袋の中から，玉を $1$ つ取り出す．取り出した玉の色の組が，白，黒の時には，白玉を取り出した人の勝ち，黒玉を取り出した人の負けとする．同じ色の玉を取り出したときは，玉は戻さないでさらに玉を取り出す．これを勝者が決まるまで続ける．このとき次の問に答えよ．

(1)　1回目に玉を取り出したときに $B$ の勝つ確率は $1 2 %$ である．

(2)　 $2$ 回目に玉を取り出したときに $B$ の勝つ確率は $3 4 %$ である．

(3)　 $B$ の勝つ確率は $5 6 %$ である．

　ただし，確率のパーセント表示は小数点以下を四捨五入し，また $1$ 桁の結果が得られた場合は，十の位に $0$ を補うこと．例えば， $\frac{1}{13} = 0.076 \dots$ を得た場合， $7.6 \dots %$ なので" $08$ "と答える．

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2月14日実施

易□　並□　難□

【２】　 $t$ の関数

$f (t) = \int_{0}^{2} {(t x - 1)}^{2} dx$

は， $t = \frac{7}{8}$ で，最小値 $\frac{9}{10}$ をとる．

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2月14日実施

易□　並□　難□

【３】(1)　円 $x^{2} + y^{2} = 25$ の周上の点 $A$ $(3, 4)$ における接線の方程式を求めよ．

(2)　 $3$ 次関数のグラフ $y = \frac{1}{3} x^{3} + a x^{2} + b x + c$ は，点 $A$ $(3, 4)$ と，点 $B$ $(1, \frac{23}{6})$ を通り，かつ点 $A$ での接線が(1)で求めた円の接線と一致するという．このとき，定数 $a ，$ $b ，$ $c$ の値を求めよ．

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易□　並□　難□

【４】　一辺の長さが $1$ の正三角形 $OAB$ に対し， $\vec{a} = \vec{OA} ，$ $\vec{b} = \vec{OB} ，$ $\vec{c} = 3 \vec{a} - \vec{b}$ とおく．また，実数 $t$ に対し

$\vec{u} = \vec{a} + t \vec{b}$

と定め，実数 $x$ に対し

$\vec{v} = x^{2} \vec{a} + x \vec{b} + \vec{c}$

と定める．

(1)　内積 $\vec{a} \cdot \vec{c}$ および $\vec{b} \cdot \vec{c}$ を求めよ．

(2)　ベクトル $\vec{u}$ の大きさ $| \vec{u} |$ の最小値を求めよ．

(3)　ベクトル $\vec{u}$ に対し，それに直交するベクトル $\vec{v}$ が存在するような実数 $t$ の値の範囲を求めよ．