2019　青山学院大学　理工学部B方式MathJax

$a_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{4}^{k-1}=1+4+4^2+\cdots +4^{n-1}$

で定める．

(1)　自然数$a_{18}$を自然数$a_9$で割った商は$4^{\boxed{\text{14}}}+4^{\boxed{\text{15}}}$であり，余りは$\boxed{\text{16}}$である．ただし$\boxed{\text{14}}>\boxed{\text{15}}$とする．

(2)　自然数$a_{29}$を自然数$a_9$で割った商は$4^{\boxed{\text{17}}\boxed{\text{18}}}+4^{\boxed{\text{19}}\boxed{\text{20}}}+4^{\boxed{\text{21}}}$であり，余りは$a_r\text{，}$$r=\boxed{\text{22}}\text{，}$に等しい．ただし$\boxed{\text{17}}\boxed{\text{18}}>\boxed{\text{19}}\boxed{\text{20}}>\boxed{\text{21}}$とする．

(3)　自然数$a_n$と自然数$a_9$が互いに素でないための必要十分条件は

$n=\boxed{\text{23}}k$$\text{（}k=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

である．

$\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BP}}\leqq 1$

$\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}\geqq 2$

を満たしながら座標平面上を動く．

(1)　点$\mathrm{P}$の動く範囲を求め，図示せよ．

(2)　線分$\mathrm{OP}$の長さの最大値と最小値を求めよ．

　ただし，すべての自然数$n$に対して$\underset{x\to \infty }{\lim }{x}^n{e}^{-x^2}=0\text{，}$$\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^n{e}^{-x^2}=0$であることを用いてよい．

(1)　曲線$C$上の点$(t,t{e}^{-\frac{t^2}{2}})$における接線$l$の方程式を求めよ

(2)　接線$l$と$y$軸との交点の$y$座標を$f(t)$とする．関数$f(t)$の増減を調べ，そのグラフの概形をかけ．グラフの凹凸は調べなくてよい．

(3)　$y$軸上の点$(0,a)$から曲線$C$に引くことのできる接線の本数を求めよ．

(1)　不定積分${\displaystyle \int }{\sin }^{2}x\mathit{dx}\text{，}$${\displaystyle \int }{\sin }^{2}2x\mathit{dx}\text{，}$${\displaystyle \int }\sin x\sin 2x\mathit{dx}$を求めよ．

(2)　$a\text{，}$$b$を実数とする．定積分

$I(a,b)={\displaystyle {\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}}{(a\sin x+b\sin 2x)}^2\mathit{dx}$

を$a\text{，}$$b$を用いて表せ．

(3) 実数$a\text{，}$$b$が$a^2+b^2=1$を満たしながら動くとき，$I(a,b)$の最大値と最小値を求めよ．また，最大値，最小値をとるときの$a\text{，}$$b$の値を求めよ．