2019　青山学院大学　理工学部A方式MathJax

　点$\mathrm{P}$が点$(a,b,c)$にいるとき，

出た目が$3$以下ならば$(a+1,b,c)$に動く．

出た目が$4$または$5$ならば$(a,b+1,c)$に動く．

出た目が$6$ならば$(a,b,c+1)$に動く．

(1)　さいころを$5$回投げるとき，点$\mathrm{P}$の$y$座標が$3$である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{1}}\boxed{\text{2}}}{\boxed{\text{3}}\boxed{\text{4}}\boxed{\text{5}}}}$である．

(2)　さいころを$9$回投げるとき，点$\mathrm{P}$がちょうど$(4,3,2)$の位置に来る確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{6}}\boxed{\text{7}}}{\boxed{\text{8}}\boxed{\text{9}}\boxed{\text{10}}}}$である．

(3)　さいころを$9$回投げて点$\mathrm{P}$がちょうど$(4,3,2)$の位置に来たときの，点$\mathrm{P}$が途中で$(3,2,0)$を通っていた条件付き確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{11}}}{\boxed{\text{12}}\boxed{\text{13}}}}$である．

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}-4\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{0}$

が成り立っている．対角線$\mathrm{OB}$と$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{Q}$とするとき，

$\overrightarrow{\mathrm{OB}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{14}}}{\boxed{\text{15}}}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\boxed{\text{16}}\overrightarrow{\mathrm{OC}}\text{，}$

$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{17}}}{\boxed{\text{18}}}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{19}}}{\boxed{\text{20}}}}\overrightarrow{\mathrm{OC}}$

であり，

${\displaystyle \frac{\mathrm{QB}}{\mathrm{OQ}}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{21}}}{\boxed{\text{22}}}}\text{，}$${\displaystyle \frac{\mathrm{QC}}{\mathrm{AQ}}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{23}}}{\boxed{\text{24}}}}$

である．よって

${\displaystyle \frac{\mathrm{▵BCQ}}{\mathrm{▵OAQ}}}＝{\displaystyle \frac{\boxed{\text{25}}}{\boxed{\text{26}}}}$

である．

$a_1,a_2,\cdots ,a_n$

を$\mathrm{T-}$数列と呼ぶ．

$\text{(}{\mathrm{T}}_1\text{)}$　$a_1=1$

$\text{(}{\mathrm{T}}_2\text{)}$　$a_{k+1}=3a_k$あるいは$a_{k+1}={\displaystyle \frac{1}{3}}{a}_k$

　例えば，項数が$3$の$\mathrm{T-}$数列は以下の$4$個である．

$1,3,9$$1,3,1$$1,{\displaystyle \frac{1}{3}},1$$1,{\displaystyle \frac{1}{3}},{\displaystyle \frac{1}{9}}$

　このとき，次の問に答えよ．

(1)　項数$n$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$の$\mathrm{T-}$数列は全部でいくつあるか．

(2)　項数$12$の$\mathrm{T-}$数列で$a_{12}=27$となるものは全部でいくつあるか．

(3)　項数$101$の$\mathrm{T-}$数列で$a_{101}$が$46$桁以上の整数となるものは全部でいくつあるか．ただし${\log }_{10}3=0.4771$とする．

$t-s=1\text{，}$$s>0\text{，}$$\mathrm{PQ}=\sqrt{5}$

を満たしている．

(1)　$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

(2)　放物線$y=5-{(x-1)}^2$の，領域$y\geqq x^2$に含まれる部分を$C$とする．点$\mathrm{R}$が曲線$C$上を動くとき，$\mathrm{▵PQR}$の面積の最小値を求めよ．また，そのときの点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．

(3)　点$\mathrm{R}$が(2)で与えた曲線$C$上を動くとき，$\mathrm{▵PQR}$の面積の最大値を求めよ．また，そのときの点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．

$f(x)={\displaystyle {\int }_0^x}(t^2-at+1)e^t\mathit{dt}$

とする．関数$f(x)$が$x={\displaystyle \frac{1}{2}}$で極値をとるとき，次の問に答えよ．

(1)　$a$の値を求めよ．

(2)　$f(x)$を求めよ．

(3)　関数$f(x)$の$0\leqq x\leqq 3$における最小値を求めよ．