2019　青山学院大学　全学部日程理系MathJax

$f(x)=x^3+x^2+ax+b$

を${(x-1)}^2$で割った余りを$R(x)\text{，}$${(x+1)}^2$で割った余りを$Q(x)$とする．$Rx)=2Q(x)$が成り立つとき，$a=\boxed{\text{1}}\text{，}$$b=\boxed{\text{2}}\boxed{\text{3}}$である．

　このとき，方程式$f(x)=0$の解は$x=\boxed{\text{4}}\text{，}$$\boxed{\text{5}}\boxed{\text{6}}\pm \boxed{\text{7}}i$である．

　まず，$\mathrm{A}$がさいころを投げ，出た目の数だけのコインを手元にとる．$\mathrm{B}$は残りのコインをすべて手元にとる．次に，$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$はそれぞれ手元のコインをすべて投げ，表の出た枚数を自分の得点とする．得点の大きい方の勝ちとし，得点が同じ場合は引き分けとする．

(1)　$\mathrm{A}$の投げたさいころの目が$1$のとき，$\mathrm{A}$が勝つ確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{8}}}{\boxed{\text{9}}\boxed{\text{10}}\boxed{\text{11}}}}$である．

(2)　$\mathrm{A}$の投げたさいころの目が$6$のとき，$\mathrm{A}$が勝つ確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{12}}\boxed{\text{13}}}{\boxed{\text{14}}\boxed{\text{15}}}}$である．

(3)　$\mathrm{A}$の投げたさいころの目が$2$のとき，$\mathrm{A}$が勝つ確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{16}}}{\boxed{\text{17}}\boxed{\text{18}}}}$である．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{19}}}{\boxed{\text{20}}}}\overrightarrow{a}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{21}}}{\boxed{\text{22}}}}\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{23}}}{\boxed{\text{24}}\boxed{\text{25}}}}\overrightarrow{a}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{26}}}{\boxed{\text{27}}}}\overrightarrow{b}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{28}}}{\boxed{\text{29}}}}\overrightarrow{c}$

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{AR}}=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{30}}}{\boxed{\text{31}}\boxed{\text{32}}}}\overrightarrow{a}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{33}}}{\boxed{\text{34}}\boxed{\text{35}}}}\overrightarrow{b}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{36}}}{\boxed{\text{37}}}}\overrightarrow{c}$

(3)　直線$\mathrm{AR}$と三角形$\mathrm{OBC}$の交点を$\mathrm{S}$とするとき，

$\overrightarrow{\mathrm{OS}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{38}}}{\boxed{\text{39}}\boxed{\text{40}}}}\overrightarrow{b}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{41}}}{\boxed{\text{42}}\boxed{\text{43}}}}\overrightarrow{c}$

である．

　曲線$C$上に点$\mathrm{A}$$(-1,0)$と点$\mathrm{P}$$(s,t)$がある．また，点$\mathrm{P}$と同じ$x$座標をもつ点$\mathrm{Q}$$(s,u)$を，

(ⅰ)　$u\leqq t$

(ⅱ)　$\mathrm{AP}+\mathrm{PQ}=2$

を満たすようにとる．

(1)　線分$\mathrm{AP}$の長さを$s$で表すと，$\sqrt{\boxed{\text{44}}+\boxed{\text{45}}s}$である．

(2)　$u$を$s$で表すと

$u=\sqrt{\boxed{\text{46}}-x^2}+\sqrt{\boxed{\text{44}}+\boxed{\text{45}}s}-\boxed{\text{47}}$

であり，

${\displaystyle \frac{\mathit{du}}{\mathit{ds}}}={\displaystyle \frac{-\sqrt{\boxed{\text{48}}}s+\sqrt{\boxed{\text{49}}-s}}{\sqrt{\boxed{\text{50}}-\boxed{\text{51}}{s}^2}}}$

である．

(3)　$s$が$-1$から$1$まで動くとき，$u$は$s={\displaystyle \frac{\boxed{\text{52}}}{\boxed{\text{53}}}}$で最大値${\displaystyle \frac{\boxed{\text{54}}}{\boxed{\text{55}}}}\sqrt{\boxed{\text{56}}}-\boxed{\text{57}}$をとる．

(4)　$s$が$-1$から$1$まで動くとき，線分$\mathrm{PQ}$が通過する領域の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{58}}}{\boxed{\text{59}}}}$である．

(1)　$2$曲線$y=f(x)\text{，}$$y=g(x)$の$-\pi \leqq x\leqq \pi$における交点の$x$座標は

$x=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{60}}}{\boxed{\text{61}}}}\pi \text{，}$${\displaystyle \frac{\boxed{\text{62}}}{\boxed{\text{63}}}}\pi$

である．

(2)　$2$曲線$y=f(x)\text{，}$$y=-g(x)$の$-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{60}}}{\boxed{\text{61}}}}\pi \leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{62}}}{\boxed{\text{63}}}}\pi$における交点の$x$座標は$x=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{64}}}{\boxed{\text{65}}}}\pi$である．

(3)　$-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{60}}}{\boxed{\text{61}}}}\pi \leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{62}}}{\boxed{\text{63}}}}\pi$において，$2$曲線$y=f(x)\text{，}$$y=g(x)$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{66}}}{\boxed{\text{67}}}}{\pi }^2＋\boxed{\text{68}}\sqrt{\boxed{\text{69}}}\pi$

である．