2019　自治医科大　医学科MathJax

【１】　$A=x^3-2y^{2}x+4y^3\text{，}$$B=x+2y$を$x$についての整式とみて，$A$を$B$で割った余りを求めよ．

【２】　${\log }_{a}b+{\log }_{b}c+{\log }_{c}a=5\text{，}$${\log }_{b}a+{\log }_{c}b+{\log }_{a}c={\displaystyle \frac{17}{4}}$がともに成立しているものとする$\text{（}a>0\text{，}$$b>0\text{，}$$c>0\text{，}$$a\ne 1\text{，}$$b\ne 1\text{，}$$c\ne 1\text{）．}$${\displaystyle \frac{8}{683}}\{{({\log }_{a}b)}^4+{({\log }_{b}c)}^4+{({\log }_{c}a)}^4\}$の値を求めよ．

【３】　自然数$n^3+{(n+1)}^3+{(n+2)}^3$$\text{（}n$は自然数）を割り切ることができる整数$\text{（}2\leqq m\leqq 9\text{）}$のなかで最大なものを求めよ．

【４】　複素数$z$は$z+{\displaystyle \frac{1}{z}}=\sqrt{2}$を満たしている．$z^{10}+{\displaystyle \frac{1}{z^{10}}}$の値を求めよ．

【５】　$2$次方程式$25x^2-35x+2k=0$の$2$つの解がそれぞれ$\sin \theta \text{，}$$\cos \theta$であるとする．$k$の値を求めよ．

【６】　$3$次方程式$x^3+a{x}^2+bx-8=0$が$1\text{，}$$2$を解にもつとき，もう$1$つの解を$c$とする．$|b+a-c|$の値を求めよ．$\text{（}a\text{，}$$b$は実数）

【７】　方程式$x^2+18x+30$$=2\sqrt{x^2+18x+45}\text{，}$$\text{（}{x}^2+18x+45\geqq 0\text{）}$について，すべての実数解の和を$p\text{，}$すべての実数解の積を$q$とする．$p+q$の値を求めよ．

【８】　$a$は自然数の定数とする．方程式${\log }_2(x^2+3x+0.25)=a+{\log }_{2}x$が実数解をもつとき，$a$のとりうる値の最小値を$m$とする．$m$の値を求めよ．

【９】　$\mathrm{▵ABC}$において，辺$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CA}$の長さがそれぞれ$b+1\text{，}$$ab+a\text{，}$$a$となり，$\cos A=-{\displaystyle \frac{1}{a}}\text{，}$$\cos C={\displaystyle \frac{b}{a^2}}\text{，}$であるとする．$\left|{\displaystyle \frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}}\right|$の値を求めよ．$\text{（}a\text{，}$$b$は実数$a>0\text{，}$$b>0\text{）}$（ただし，$\mathrm{▵ABC}$の$\mathrm{\angle A}\text{，}$$\mathrm{\angle B}\text{，}$$\mathrm{\angle C}$の大きさをそれぞれ$A\text{，}$$B\text{，}$$C$で表記する）

【10】　$\mathrm{▵ABC}$について考える．$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}\text{，}$$\mathrm{BC}=16\sqrt{2}\text{，}$$\mathrm{A}$から$\mathrm{BC}$に下ろした垂線の長さを$32$とする．この$\mathrm{▵ABC}$の内接円の半径を求めよ．

【11】　実数$x\text{，}$$y$が$2|x-3|+3|y-2|\leqq 6$を満たすとき，$x^2+y^2$の最大値を$M\text{，}$最小値を$m$とする．$M-13m$の値を求めよ．

【12】　袋の中に$2$個の白玉と$n$個$\text{（}n$は自然数）の赤玉が入っている．この袋から同時に$2$個の玉を取り出すものとする．白玉の数が$1$個だけの場合の確率を$P(1)\text{，}$$2$個とも白玉である場合の確率を$P(2)$とする．${\displaystyle \frac{P(1)}{P(2)}}=12$となるときの$n$の値を求めよ．

【13】　座標平面上の$3$つの定点，原点$\mathrm{O}$$(0,0)\text{，}$$\mathrm{A}$$(0,1)\text{，}$$\mathrm{B}$$(4,3)$と任意の点$\mathrm{P}$について考える．$\overrightarrow{\mathrm{PA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}=4\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$が成立しているとき，点$\mathrm{P}$の軌跡は異なる$2$つの点$\mathrm{M}$$(m,0)\text{，}$$\mathrm{N}$$(n,0)$で$x$軸と交わる．$|m+n|$の値を求めよ．

【14】　座標平面において，点$\mathrm{P}$$(1,0)$を原点$\mathrm{O}$を中心として$2\theta$$\text{（}\theta$は正の角）だけ回転させた点を$\mathrm{Q}$とし，点$\mathrm{R}$$({\displaystyle \frac{3}{2}},0)$を点$\mathrm{A}$$({\displaystyle \frac{1}{2}},0)$を中心として$\theta$だけ回転させた点を$\mathrm{B}$とする．線分$\mathrm{QB}$の長さの最大値を$M$とするとき，$2\sqrt{6}M$の値を求めよ．

【15】　数列$\{a_n\}$は，$a_1=1\text{，}$$a_{n+1}=2a_n-n^2+25n+5$$\text{（}n$は自然数）を満たしている．$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$であるとき，$S_n-2a_n$を最小にする$n$を$P$とする．$|P-20|$の値を求めよ．

【16】　曲線$C\text{：}y=x^2-13$上に存在する異なる$2$つの点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$について考える．線分$\mathrm{PQ}$と$y$軸は，点$\mathrm{A}$$(0,-8)$で交わる．線分$\mathrm{PQ}$の中点の軌跡と$x$軸で囲まれる図形の面積を$S$としたとき，${\displaystyle \frac{3}{8}}S$の値を求めよ．

【17】　関数$f(x)=e^{ax}\sin bx$について考える$\text{（}a\text{，}$$b$は実数）．$\text{（}b\ne 0\text{）}$$f^{″}(x)-2f^{\prime }(x)+2f(x)=0$がすべての$x$について成立するとき，$a^2+b^2$の値を求めよ．

【18】　曲線$C\text{：}y=x^3-6x^2$について考える．点$\mathrm{A}$$(4,k)$$\text{（}k$は整数）から曲線$C$に異なる$3$本の接線が引けるとき，$k$のとりうる値の個数を求めよ．

【19】　曲線$C\text{：}y=x^3$上に存在する原点$\mathrm{O}$$(0,0)\text{，}$点$\mathrm{A}$$(1,1)\text{，}$点$\mathrm{P}$$(t,t^3)$$\text{（}0<t<1\text{，}$$t$は実数）について考える．線分$\mathrm{OP}$と曲線$C\text{，}$線分$\mathrm{PA}$と曲線$C$で囲まれた図形のそれぞれの面積を$S_1\text{，}$$S_2$と表記する．$S_1+S_2$は$t=k$のとき最小値をとる．$9k^2$の値を求めよ．

【20】　曲線$C\text{：}y=x+2\cos x$$\text{（}0\leqq x\leqq 2\pi \text{），}$直線$l\text{：}y=k$について考える．曲線$C\text{，}$直線$l\text{，}$$x=0\text{，}$$x=2\pi$で囲まれた図形を直線$l$の周りに$1$回転させてできる立体の体積を$V$とする．$V$が最小となるときの$k$の値を$m$としたとき，$a<m<a+1$を満たす自然数$a$が存在する．$a$の値を求めよ．

【21】　次の文章を読み，以下の問い（問題21〜25）に対する選択肢から最も適当なものを一つだけ選べ．

　曲線$C\text{：}y=x^2$について考える．曲線$C$上の点${\mathrm{P}}_1$$(p,p^2)$$\text{（}p>0\text{，}$$p$は実数）における接線と$x$軸との交点を${\mathrm{Q}}_1$とし，点${\mathrm{Q}}_1$を通って$x$軸に垂直な直線と曲線$C$との交点を${\mathrm{P}}_2\text{，}$点${\mathrm{P}}_2$における曲線$C$の接線と$x$軸との交点を${\mathrm{Q}}_2$と定める．その後も同じ操作を繰り返し，曲線$C$上に点${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2\text{，}\cdots \text{，}$${\mathrm{P}}_n\text{，}\cdots \text{，}$$x$軸上に点${\mathrm{Q}}_1\text{，}$${\mathrm{Q}}_2\text{，}\cdots \text{，}$${\mathrm{Q}}_n\text{，}\cdots$をつくることとする．

A　点${\mathrm{Q}}_1\text{，}$${\mathrm{Q}}_2\text{，}\cdots \text{，}$${\mathrm{Q}}_n\text{，}\cdots$の$x$座標をそれぞれ$x_1\text{，}$$x_2\text{，}\cdots \text{，}$$x_n\text{，}\cdots$と表記すると，数列$\{x_n\}$は初項$\text{21}\text{，}$公比$\text{22}$の等比数列になる．

B　図形${\mathrm{P}}_n{\mathrm{Q}}_n{\mathrm{P}}_{n+1}$の面積$S_n$とは，接線${\mathrm{P}}_n{\mathrm{Q}}_n\text{，}$直線${\mathrm{Q}}_n{\mathrm{P}}_{n+1}\text{，}$曲線$C$の点${\mathrm{P}}_n$から点${\mathrm{P}}_{n+1}$までの曲線部分で囲まれた図形の面積を意味することとする．図形${\mathrm{P}}_1{\mathrm{Q}}_1{\mathrm{P}}_2\text{，}$${\mathrm{P}}_2{\mathrm{Q}}_2{\mathrm{P}}_3\text{，}\cdots \text{，}$${\mathrm{P}}_n{\mathrm{Q}}_n{\mathrm{P}}_{n+1}\text{，}\cdots$の面積をそれぞれ$S_1\text{，}$$S_2\text{，}\cdots \text{，}$$S_n\text{，}\cdots$としたとき，数列$\{S_n\}$は初項$\text{23}\text{，}$公比$\text{24}$の等比数列になる．

C　無限等比級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{S}_n$は収束し，その値は，$\text{25}$となる．