2019　東北学院大学　後期文,法,経済,経営,教養学部3月6日MathJax

【１】　三角形$\mathrm{ABC}$において，頂点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$に向かい合う辺$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CA}\text{，}$$\mathrm{AB}$の長さを，それぞれ$a\text{，}$$b\text{，}$$c$で表し，$\mathrm{\angle A}\text{，}$$\mathrm{\angle B}\text{，}$$\mathrm{\angle C}$の大きさを，それぞれ$A\text{，}$$B\text{，}$$C$で表すとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$2a^{2}bc-b^2(c^2+a^2-b^2)$$-c^2(a^2-b^2-c^2)$を因数分解せよ．

(ⅱ)　$a<b+c$であることを示せ．

(ⅲ)　$a\geqq b\cos B+c\cos C$であることを示せ．

【２】　不等式

$x^2-3x+5\leqq y\leqq -x^2+7x-6$

を満たす整数$x\text{，}$$y$の組をすべて求めよ．

【３】　次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$3$点$(1,2)\text{，}$$(-2,4)\text{，}$$(a-1,a-1)$が同一の直線上にあるとき，定数$a$の値を求めよ．

【３】　次の問いに答えよ．

(ⅱ)　$4$点$(2,1)\text{，}$$(2,5)\text{，}$$(-6,5)\text{，}$$(2b+2,-b-4)$が同一の円上にあるとき，定数$b$の値を求めよ．

【４】　$2$次関数$f(x)=a{x}^2+bx-(a+b)$について，次の問いに答えよ．ただし，$a\text{，}$$b$は定数である．

(ⅰ)　${\displaystyle \frac{d}{\mathit{dx}}}{\displaystyle {\int }_1^x}f(t)\mathit{dt}={\displaystyle {\int }_1^x}{\displaystyle \frac{d}{\mathit{dt}}}f(t)\mathit{dt}$は正しいか．

(ⅱ)　${\displaystyle \frac{d}{\mathit{dx}}}{\displaystyle {\int }_1^{-x}}f(t)\mathit{dt}$を求めよ．

(ⅲ)　${\displaystyle \frac{d}{\mathit{dx}}}{\displaystyle {\int }_{-x}^x}f(t)\mathit{dt}={\displaystyle {\int }_{-x}^x}{\displaystyle \frac{d}{\mathit{dt}}}f(t)\mathit{dt}$は正しいか．

【５】　自然数$N$を$9$進法と$5$進法で表すと，ともに$3$桁の数であり，各位の数字の並びが逆になるという．$N$を$10$進法で表せ．

【６】　数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$を$a_1=1\text{，}$$b_1=1\text{，}$$a_{n+1}=a_n+9b_n\text{，}$$b_{n+1}=a_n+b_n$で定めるとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$a_{n+1}+x{b}_{n+1}=y(a_n+x{b}_n)$を満たす定数$x\text{，}$$y$を$2$組求めよ．

(ⅱ)　数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$の一般項を求めよ．