2019　東北学院大学　前期分割文，経済，経営，法，教養学部2月2日MathJax

【１】　円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=2\text{，}$$\mathrm{BC}=3\text{，}$$\mathrm{CD}=1\text{，}$$\mathrm{AD}=2$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$\mathrm{\angle ABC}$の大きさを求めよ．

(ⅱ)　$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．

(ⅲ)　四角形$\mathrm{ABCD}$の面積$S$を求めよ．

(ⅳ)　四角形$\mathrm{ABCD}$が内接する円の半径$R$を求めよ．

【２】　$a\text{，}$$b$を実数とし，$s=a+b\text{，}$$t=ab$とおく．

(ⅰ)　$a>0$かつ$b>0$である必要十分条件は$s>0$かつ$t>0$であることを示せ．

(ⅱ)　$a>3$かつ$b>3$である必要十分条件を$s\text{，}$$t$を用いて表せ．

【３】　放物線$C\text{：}y=x^2-1$上の点$(\alpha ,{\alpha }^2-1)$における接線を$l$とするとき，次の問いに答えよ．ただし$\alpha \ne 0$とする．

(ⅰ)　直線$l$の方程式を求めよ．

(ⅱ)　直線$l$と$x$軸の交点を$(\beta ,0)$とするとき，$\beta$を$\alpha$を用いて表せ．

(ⅲ)　$\alpha >1$ならば$1<\beta <\alpha$となることを示せ．

【４】　連立方程式

$\{\begin{array}{ll}xy=3^6& \cdots \text{(1)}\\ {\displaystyle \frac{1}{{\log }_{3}x}}+{\displaystyle \frac{1}{{\log }_{3}y}}={\displaystyle \frac{6}{5}}& \cdots \text{(2)}\end{array}$

について，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　${\log }_{3}x+{\log }_{3}y$の値を求めよ．

(ⅱ)　連立方程式(1)，(2)を満たす$x\text{，}$$y$の値を求めよ．

【５】　$n$を正の整数とする．$n^2-n+4$が$5$で割り切れることと，$n$を$5$で割った余りが$3$であることは同値であることを証明せよ．

【６】　奇数の数列を

$1|3,5|$$7,9,11|$$13,15,17,19|$$21,23,25,27,29|$$31,\cdots$

のように，第$n$群が$n$個の数を含むように分けるとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　第$n$群の最初の奇数を求めよ．

(ⅱ)　$2019$は第何群の何番目の数か．