2019　東北学院大学　前期文系全学部MathJax

【１】 放物線$C\text{：}y=x^2-2ax+3(a+6)$について，次の問いに答えよ．ただし，$a$は定数である．

(ⅰ)　放物線$C$の頂点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(ⅱ)　放物線$C$が常に$x$軸より上側にあるとき，定数$a$の値の範囲を求めよ．

(ⅲ)　放物線$C$が$x$軸に接するとき，定数$a$の値とそのときの接点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

(ⅳ)　放物線$C$と$x$軸が異なる$2$点で交わり，これら$2$点の$x$座標が$1$より小さいとき，定数$a$の値の範囲を求めよ．

【２】　次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$\tan \theta =-2$であるとき，$\sin \theta$と$\cos \theta$の値を求めよ．ただし，$0\mathrm{°}\leqq \theta \leqq 180\mathrm{°}$とする．

【２】　次の問いに答えよ．

(ⅱ)　$\sin \theta +\cos \theta =\sqrt{2}$であるとき，$\sin \theta$と$\cos \theta$の値を求めよ．

【３】　$a$を正の定数とする．不等式

$2{\log }_a(x-3)-{\log }_a(x-1)>0$$\cdots$(1)

について，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$a>1$のとき，不等式(1)を満たす$x$の範囲を求めよ．

(ⅱ)　$0<a<1$のとき，不等式(1)を満たす$x$の範囲を求めよ．

【４】　関数$f(x)=|x^2-1|$について，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$x$軸と曲線$y=f(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．

(ⅱ)　曲線$y=f(x)$と直線$y=1$で囲まれた図形の面積を求めよ．

【５】　次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$2$個のサイコロを同時に投げるとき，出る目の和が素数となる確率を求めよ．

(ⅱ)　$3$個のサイコロを同時に投げるとき，出る目の積が$24$となる確率を求めよ．

【６】　$2$点$(12,0)\text{，}$$(0,-6)$を通る直線を$l$とし，$2$点$(-3,0)\text{，}$$(0,-1)$を通る直線を$m$とする．次の問いに答えよ．

(ⅰ)　直線$l$の方程式と直線$m$の方程式を求めよ．

(ⅱ)　直線$l$と直線$m$の交点の座標を求めよ．

(ⅲ)　直線$l$と直線$m$のなす角$\theta$を求めよ．ただし，$0\mathrm{°}\leqq \theta \leqq 90\mathrm{°}$とする．