2019　長崎県立大学　前期MathJax

【１】　次の問いに答えなさい．

(1)　$8$個の値からなるデータ$5\text{，}$$9\text{，}$$10\text{，}$$12\text{，}$$13\text{，}$$15\text{，}$および$a\text{，}$$b$$\text{（}a\leqq b\text{）}$の平均値が$11$であるとする．

(ⅰ)　$a+b$の値を求めなさい．

(ⅱ)　標準偏差が$3$であるとき，$a\text{，}$$b$の値を求めなさい．

【１】　次の問いに答えなさい．

(2)　$xy$平面上に，$2$つの曲線$C_1\text{：}y=x^3+2x^2-2x-1\text{，}$$C_2\text{：}y=2x^2+x+1$がある．

(ⅰ)　$C_1$と$C_2$の共有点の座標を求めなさい．

(ⅱ)　$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積を求めなさい．

【１】　次の問いに答えなさい．

(3)　$7$個の数$0\text{，}$$1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4\text{，}$$5\text{，}$$6$から異なる$3$個の数を選び出し，それらを並べて$3$桁の整数をつくる．

(ⅰ)　$5$の倍数の個数を求めなさい．

(ⅱ)　$3$の倍数の個数を求めなさい．

【２】　$f(x)=x^3-3x^2+2x$とし，関数$y=f(x)$のグラフを$C$とする．次の問に答えなさい．

(1)　$C$上の点$(t,f(t))$における$C$の接線の方程式を求めなさい．

(2)　座標平面上の点$(a,b)$から$C$へ異なる$3$本の接線を引くことができるような$a\text{，}$$b$の条件を求めなさい．

(3)　座標平面上の点$(a,b)$から$C$へ異なる$3$本の接線を引くことができ，接点の$x$座標がすべて正であるような$a\text{，}$$b$の条件を求めなさい．さらに，その条件の表す領域を$ab$平面上に図示しなさい．

【３】　箱$\mathrm{A}$には白玉$2$個と赤玉$3$個が入っており，箱$\mathrm{B}$には青玉$3$個と赤玉$2$個が入っている．コインを投げて，表ならば箱$\mathrm{A}$から，裏ならば箱$\mathrm{B}$から玉を$1$個取り出す．これを$1$回の試行とする．また，取り出した玉は，白玉または青玉ならば取り出した箱に戻し，赤玉ならば箱に戻さないものとする．ただし，コインはやや変形しており，表が出る確率は$p$$\text{（}0<p<1\text{）}$である．$1$回目の試行で赤玉を取り出す確率が${\displaystyle \frac{7}{15}}$であるとき，次の問に答えなさい．

(1)　$p$の値を求めなさい．また，$1$回目の試行で白玉，青玉を取り出す確率をそれぞれ求めなさい．

(2)　最初の$2$回の試行で，玉を以下の順に取り出す確率をそれぞれ求めなさい．

(ⅰ)　白玉，赤玉

(ⅱ)　赤玉，白玉

(ⅲ)　赤玉，赤玉

(3)　$2$回目の試行で赤玉を取り出したとき，$1$回目の試行でも赤玉を取り出していた条件付き確率を求めなさい．

【４】　数列

${\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2^2}},{\displaystyle \frac{2}{2^2}},$${\displaystyle \frac{1}{2^3}},{\displaystyle \frac{2}{2^3}},{\displaystyle \frac{3}{2^3}},$${\displaystyle \frac{1}{2^4}},{\displaystyle \frac{2}{2^4}},{\displaystyle \frac{3}{2^4}},{\displaystyle \frac{4}{2^4}},$${\displaystyle \frac{1}{2^5}},{\displaystyle \frac{2}{2^5}},\cdots$$\cdots$(＊)

を，次のように，左から順に第$n$群が$n$個の項を含むように分けるとする．

${\displaystyle \frac{1}{2}}|{\displaystyle \frac{1}{2^2}},{\displaystyle \frac{2}{2^2}}|$${\displaystyle \frac{1}{2^3}},{\displaystyle \frac{2}{2^3}},{\displaystyle \frac{3}{2^3}}|$${\displaystyle \frac{1}{2^4}},{\displaystyle \frac{2}{2^4}},{\displaystyle \frac{3}{2^4}},{\displaystyle \frac{4}{2^4}}|$${\displaystyle \frac{1}{2^5}},{\displaystyle \frac{2}{2^5}},\cdots$

次の問に答えなさい．

(1)　第$1$群から第$n$群までの$n$個の群それぞれの先頭の項の和$S_n$を求めなさい．

(2)　第$1$群から第$n$群までの$n$個の群それぞれの末尾の項の和$T_n$を求めなさい．

(3)　最初に現れる${\displaystyle \frac{5}{2^{10}}}$は(＊)の数列の第何項か求めなさい．

(4)　(＊)の数列の第$1000$項は第何群に含まれるか求めなさい．また，(＊)の数列の第$1000$項を求めなさい．

【５】　平面上に$\mathrm{▵ABC}$がある．実数$k$に対して，点$\mathrm{P}$が

$\overrightarrow{\mathrm{AP}}+(3-k)\overrightarrow{\mathrm{BP}}+2k\overrightarrow{\mathrm{CP}}=\overrightarrow{0}$

を満たすものとする．次の問に答えなさい．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$および$k$の式で表しなさい．

(2)　点$\mathrm{P}$が$\mathrm{▵ABC}$の内部（辺上の点を含まない）にあるような$k$の値の範囲を求めなさい．

(3)　$\mathrm{AB}=4\text{，}$$\mathrm{AC}=1$とし，点$\mathrm{P}$が$\mathrm{\angle BAC}$の二等分線上にあるとする．このときの$k$の値を求めなさい．

(4)　(3)のとき，さらに，$\mathrm{BP}\perp \mathrm{AC}$とする．$\mathrm{▵ABC}$の面積を求めなさい．

【４】　関数

$f(x)={\displaystyle \frac{x^2-\log x}{x}}$$\text{（}x>0\text{）}$

について，次の問いに答えなさい．解答用紙には，解答の過程も記しなさい．

問１　関数$f(x)$の増減を調べ極値を求めなさい．

問２　座標平面上の原点$\mathrm{O}$から曲線$y=f(x)$に引いた接線の方程式を求めなさい．

問３　方程式$f(x)=ax$（$a$は実数の定数）の異なる実数解の個数を求めなさい．ただし，$\underset{t\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\log t}{t^2}}=0$であることは証明なしに利用してよい．