2019　福岡女子大学　前期MathJax

【１】　連立方程式

$\{\begin{array}{l}16\cdot 2^x-2^y=0\\ {\log }_2(x+1)+{\log }_2(y-2)={\log }_2(3x+6)\end{array}$

を解きなさい．

【２】　$0\leqq \theta \leqq 2\pi$のとき，$2\cos 2\theta +5\sin \theta -3\geqq 0$を満たす$\theta$の中で最大のものを$\alpha$とする．このとき，$\sin \alpha \text{，}$$\cos \alpha \text{，}$$\sin 3\alpha$を求めなさい．

【３】　一辺の長さが$1$の正三角形$\mathrm{OAB}$について，点$\mathrm{M}$は辺$\mathrm{OA}$の中点とする．点$\mathrm{P}$は，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$点$\mathrm{Q}$は$\overrightarrow{\mathrm{BQ}}=t\overrightarrow{\mathrm{BA}}$を満たすとし，点$\mathrm{R}$は線分$\mathrm{PQ}$を$2:1$に内分する．点$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{OM}$上を動き，点$\mathrm{Q}$が辺$\mathrm{AB}$上を動くとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　$s$と$t$の値の範囲を求めなさい．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を$\overrightarrow{b}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$s\text{，}$$t\text{，}$$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表しなさい．

(3)　点$\mathrm{R}$が動く範囲の面積を求めなさい．

【４】　$2$つの変量をそれぞれ変量$x\text{，}$変量$y$として，実数値で得られた異なる$3$個のデータを

$(x_1,y_1)\text{，}$$(x_2,y_2)\text{，}$$(x_3,y_3)$

で表す．このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　$3$個のデータが，それぞれ

$(x_1,y_1)=(2,3)\text{，}$$(x_2,y_2)=(1,1)\text{，}$$(x_3,y_3)=(3,2)$

であるとき，$x$と$y$の相関係数を計算しなさい．

(2)　$x$と$y$の相関係数が$-1$となるような，$3$個のデータの例を$1$つ挙げなさい．(1)のような形式で記述しなさい．

(3)　変量$x\text{，}$$y$の平均値をそれぞれ$\bar{x}\text{，}$$\bar{y}$とするとき，以下の式が成立することを示しなさい．

$(x_1-\bar{x})(y_1-\bar{y})$$+(x_2-\bar{x})(y_2-\bar{y})$$+(x_3-\bar{x})(y_3-\bar{y})$$=x_1{y}_1+x_2{y}_2+x_3{y}_3-3\bar{x}\bar{y}$

(4)　原点$\mathrm{O}$を中心とする単位円に内接する正三角形の$1$つの頂点を${\mathrm{P}}_1$とする．残り$2$つの頂点を${\mathrm{P}}_1$から反時計回りに${\mathrm{P}}_2\text{，}$${\mathrm{P}}_3$とする．動径$\mathrm{O}{\mathrm{P}}_1$の表す角を$\theta$とするとき，${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2\text{，}$${\mathrm{P}}_3$の座標をそれぞれ，$\theta$を用いた式で表しなさい．

(5)　(4)の${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2\text{，}$${\mathrm{P}}_3$の座標を，変量$x\text{，}$$y$のデータとみなしたとき，$x$と$y$の相関係数が$0$になることを示しなさい．

【５】　次の連立不等式の表す領域を$D$とする．

$\{\begin{array}{l}(x^2+x-y)(2x-y+2)\leqq 0\\ -1\leqq x\leqq 2\end{array}$

このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　領域$D$を図示しなさい．

(2)　点$\mathrm{P}$$(x,y)$が領域$D$内を動くとき，${\displaystyle \frac{1}{2}}x+y$の最大値と最小値を求めなさい．

(3)　連立不等式

$\{\begin{array}{l}(x^2+x-y)(2x-y+2)\leqq 0\\ -1\leqq x\leqq 2\\ y\geqq 0\end{array}$

の表す領域$D^{\prime }$の面積を求めなさい．

【１】　座標平面上の点$\mathrm{F}$$(0,5)$からの距離$\mathrm{PF}$と，点$\mathrm{P}$と直線$l\text{：}y=2$との距離$\mathrm{PH}$の比が$\mathrm{PF}:\mathrm{PH}=2:1$であるような点$\mathrm{P}$$(x,y)$の軌跡を求め，概形を描きなさい．

【２】　ある南の島の言い伝えによると，この島では，雨が降った日の翌日に雨が降る確率は${\displaystyle \frac{2}{3}}$で，雨が降らなかった日の翌日に雨が降る確率は${\displaystyle \frac{1}{6}}$であるらしい．$\mathrm{A}$さんが初めてこの島を訪れた日には雨が降っていた．この日から数えて$n$日後に雨が降っている確率を$p_n$とする．この言い伝えが正しいとするとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　$p_{n+1}$を$p_n$の式で表しなさい．

(2)　$p_n$を$n$の式で表しなさい．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{p}_n$を求めなさい．

【５】　$a$を正の実数，$b$を実数とする．関数

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{1+e^{-(ax+b)}}}$

について，以下の問いに答えなさい．

(1)　$f(x)$の導関数$f^{\prime }(x)$について，

$f^{\prime }(x)=af(x)(1-f(x))$

が成り立つことを示しなさい．

(2)　$f(x)$の第$2$次導関数$f^{″}(x)$について，$f^{″}(1)=0$となるとき，$a$を$b$の式で表しなさい．

(3)　$f^{″}(1)=0$で，$x=1$における$f(x)$の接線の傾きが$1$となるとき，$a$と$b$の値を求めなさい．また，このときの$f(x)$について，$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$および，$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$を求め，グラフ$y=f(x)$の概形を描きなさい．

(4)　$f(x)$の$a\text{，}$$b$の値がそれぞれ，(3)で求めた$a\text{，}$$b$の値であるとき，$f(x)\text{，}$$x$軸，$y$軸および$x=1$における$f(x)$の接線で囲まれた図形の面積を求めなさい．