2019　山陽小野田市立山口東京理科大学　中期工学部MathJax

(1)　$xy$平面上において，楕円$1$

${\displaystyle \frac{{(x+c)}^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{a^2-c^2}}=1$

上の点$\mathrm{P}$$(x,y)$をとり，原点$\mathrm{O}$との距離を$r_1$とする．また，直線$\mathrm{OP}$と$x$軸正方向とのなす角を${\theta }_1$とするとき，$r_1$を${\theta }_1$の関数として表しなさい．

(2)　$xy$平面上において，楕円$2$

${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{a^2-c^2}}=1$

上の点$\mathrm{Q}$$(x,y)$をとり，原点$\mathrm{O}$との距離を$r_2$とする．また，直線$\mathrm{OQ}$と$x$軸正方向とのなす角を${\theta }_2$とするとき，$r_2$を${\theta }_2$の関数として表しなさい．

(3)　楕円$1$と楕円$2$の交点のうち，正の$y$座標をもつ交点を$\mathrm{R}$とする．このとき，距離$\mathrm{OR}$を求めなさい．

(1)　$N$に属するすべての数の和の$2$乗を$T$とする．$T$を$n$で表し，かつ因数分解しなさい．

(2)　$N$に属する異なる$2$つの数のすべての積の和を$S$とする．$S$を$n$で表し，かつ因数分解しなさい．

(3)　$S$が$8500$であるとき，$n$を求めなさい．

(1)　媒介変数$t$$\text{（}0\leqq t\leqq \pi \text{）}$によって$\{\begin{array}{l}x=t\\ y=\sin t\end{array}$と表される曲線$C_1$について，

(a)　${\displaystyle \frac{\mathit{dy}}{\mathit{dx}}}$を$t$で表しなさい．

(b)　曲線$C_1$と$x$軸で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転して得られる回転体の体積$V_1$を求めなさい．

(2)　媒介変数$t$$\text{（}0\leqq t\leqq \pi \text{）}$によって$\{\begin{array}{l}x=\cos t\\ y=\sin t\end{array}$と表される曲線$C_2$について，

(a)　${\displaystyle \frac{\mathit{dy}}{\mathit{dx}}}$を$t$で表しなさい．

(b)　曲線$C_2$と$x$軸で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転して得られる回転体の体積$V_2$を求めなさい．

(3)　媒介変数$t$$\text{（}0\leqq 1\leqq 2\pi \text{）}$によって$\{\begin{array}{l}x={\cos }^{3}t\\ y={\sin }^{3}t\end{array}$と表されるアステロイド$C_3$について，

(a)　${\displaystyle \frac{\mathit{dy}}{\mathit{dx}}}$を$t$で表しなさい．

(b)　アステロイド$C_3$で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転して得られる回転体の体積$V_3$を求めなさい．