2019　山陽小野田市立山口東京理科大学　前期MathJax

(1)　点$\mathrm{P}$を頂点とする$3$つの三角形の面積比を

$\mathrm{▵PAB}:\mathrm{▵PBC}:\mathrm{▵PCA}=l:m:n$

とする．

(a)　$\mathrm{BD}:\mathrm{DC}$を$l\text{，}$$n$を用いて表しなさい．

(b)　$\mathrm{AP}:\mathrm{PD}$を$l\text{，}$$m\text{，}$$n$を用いて表しなさい．

(2)　(1)で，$l:m:n=1:1:1$であるとき，点$\mathrm{P}$は三角形の$$心と呼ばれる．このとき，$$に当てはまる適切な用語を答えなさい．

(1)　$2$つの交点の$x$座標をそれぞれ$c\text{，}$$d$とし，さらに放物線と直線で囲まれた部分の面積を$S_1$とする．このとき，$S_1$を$c$と$d$を用いて表しなさい．ただし，$c<d$とする．

(2)　$2$つの交点の$x$座標をそれぞれ$-e\text{，}$$e$とし，さらに放物線と直線で囲まれた部分の面積を$S_2$とする．ただし，$e>0$とする．

(a)　$a$を$b$を用いて表しなさい．

(b)　$S_2$を求めなさい．

$z={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\{1-t+i(1+t)\}$

の複素平面上での軌跡を考える．ここで，$i$は虚数単位である．次の各問いに答えなさい．解答は解答用紙に導出過程も含み記入しなさい．

(1)　複素数$z$の軌跡が，複素平面上で直線となることを示しなさい．さらに，$z=x+iy$（$x\text{，}$$y$は実数）とおき，$x$と$y$の関係式を$y=ax+b$と表したとき，$a$と$b$の値をそれぞれ求めなさい．

(2)　実数$t$に対して，$t=\tan \theta$$(-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$とおく．このとき，複素数$z$の逆数${\displaystyle \frac{1}{z}}$の実部と虚部をそれぞれ$\sin 2\theta \text{，}$$\cos 2\theta$を用いて表しなさい．

(3)　複素数${\displaystyle \frac{1}{z}}$の軌跡が，複素数平面上で円となることを示しなさい．さらに，この円の中心を表す複素数と半径をそれぞれ求めなさい．