2019　広島市立大学　前期MathJax

【１】

問１　次の関数の導関数を求めよ．

$y={\displaystyle \frac{\cos x}{1-\sin x}}$

【１】

問２　次の不定積分，定積分を求めよ．

(1)　${\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{{(5^x-1)}^2}{5^x}}\mathit{dx}$

(2)　${\displaystyle {\int }_1^2}x\sqrt{2-x}\mathit{dx}$

【１】

問３　${(x-2y)}^7$の展開式における$x^4{y}^3$の項の係数を求めよ．

【２】

問１　次の命題の真偽を調べ，真ならば証明をし，偽ならば反例を一組あげよ．ただし$a\text{，}$$b$は整数とする．

(1)　「$a^2-b^2$が$2$の倍数でないならば，$a\text{，}$$b$のいずれか一方は$2$の倍数である」

(2)　「$a^2-b^2$が$5$の倍数でないならば，$a\text{，}$$b$のいずれか一方は$5$の倍数である」

【２】

問２(1)　整式$x^{2019}$を$x+1$で割ったときの余りを求めよ．

(2)　整式$x^{2019}$を$x^2+1$で割ったときの余りを求めよ．

【３】　平行四辺形$\mathrm{ABCD}$において，辺$\mathrm{BC}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{M}$とする．また，$t$を$0<t<1$を満たす実数とし，辺$\mathrm{CD}$を$t;(1-t)$に内分する点を$\mathrm{N}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{b}$とし，$\left|\overrightarrow{a}\right|=3\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{6}\text{，}$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=3$とするとき，次の問いに答えよ．

問１　$\overrightarrow{\mathrm{AM}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AN}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$t$を用いて表せ．

問２　$\overrightarrow{\mathrm{MN}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$が直交するときを考える．

(1)　$t$の値を求めよ．

(2)　線分$\mathrm{MN}$と線分$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{P}$とするとき，線分の長さの比$\mathrm{MP}:\mathrm{PN}$を求めよ．

【４】　関数$f(x)=x^2(1-\log x)$$\text{（}x>0\text{）}$について，次の問いに答えよ．

問１　$f^{\prime }(x)\text{，}$$f^{″}(x)$を求めよ．

問２　関数$f(x)$の増減，極値と，曲線$y=f(x)$の凹凸を調べよ．

問３　不等式$f(x)\geqq 1-\log x$を解け．

問４　曲線$y=f(x)$と曲線$y=1-\log x$で囲まれた部分の面積を求めよ．