2019　県立広島大学　後期MathJax

【１】　$t$を正の実数とする．$2$つの関数$y=f(x)\text{，}$$y=g(x)$が

$f(x)=x^3-3x+2\text{，}$$g(x)=3(t^2-1)x-2t^3+2$

で定義される．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$x\geqq 0$の範囲で，不等式$f(x)\geqq g(x)$を示せ．また，等号が成立する条件を求めよ．

(2)　$S(t)={\displaystyle {\int }_0^2}|f(x)-g(x)|\mathit{dx}$の最小値を求めよ．

【２】　曲線$C_1\text{：}y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2$と円$C_2$がある．円 $C_2$は，$x$軸と$x>0$の領域で接し，かつ点$\mathrm{P}$で曲線$C_1$と接する．また，点$\mathrm{P}$における曲線$C_1$の接線に垂直な直線$l$が点$\mathrm{Q}$$({\displaystyle \frac{3}{2}},0)$を通る．ここで，曲線$C_1$と円$C_2$が点$\mathrm{P}$で接するとは，点$\mathrm{P}$が曲線$C_1$と円$C_2$の共有点であり，かつ点$\mathrm{P}$における曲線$C_1$の接線と点$\mathrm{P}$における円$C_2$の接線が一致することである．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(2)　円$C_2$の中心の座標を求めよ．

(3)　円$C_2$と$x$軸の接点を$\mathrm{R}$とし，円$C_2$上の点が点$\mathrm{P}$から点$\mathrm{R}$まで反時計回りに動いてできる円弧$\mathrm{PR}$を$C_3$とする．曲線$C_1\text{，}$$x$軸および円弧$C_3$で囲まれた部分の面積を求めよ．

【３】　関数$f(x)=-{\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2+2x-1$を用いて，数列$\{a_n\}$を次式で定義する．

$a_1=4\text{，}$$a_{n+1}=f(a_n)$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$

このとき，次の問いに答えよ．

(1)　曲線$y=f(x)$と直線$y=x$の交点を求めよ．

(2)　$2<a_n\leqq 4$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$が成り立つことを示せ．

(3)　$a_{n+1}<a_n$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$が成り立つことを示せ．

【４】　不定方程式

$5x-3y=1$

を満たす整数$x\text{，}$$y$の組を考える．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$|x-y|$の最小値を求めよ．

(2)　$x^2+y^2+xy$の最小値を求めよ．

(3)　$|x^3-y^3|$の最小値を求めよ．

(4)　${\displaystyle \frac{\left|y\right|}{\left|x\right|}}$の最小値を求めよ．