2019　県立広島大学　前期MathJax

【１】　曲線$C\text{：}y={\displaystyle \frac{5}{18}}{x}^3-{\displaystyle \frac{4}{3}}x$上の点$\mathrm{P}$$(a,{\displaystyle \frac{5}{18}}{a}^3-{\displaystyle \frac{4}{3}}a)$における接線$l$が，点$\mathrm{P}$と異なる点$\mathrm{Q}$で曲線$C$と交わる．ただし，$a>0$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　接線$l$の方程式を求めよ．

(2)　点$\mathrm{Q}$の$x$座標を求めよ．

(3)　接線$l$が点$\mathrm{Q}$における曲線$C$の接線$m$と直交するとき，$a$の値を求めよ．

(4)　(3)のとき，曲線$C$と接線$l$で囲まれた部分の面積を求めよ．

【２】　$2$つの数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$が，

$a_1=3\text{，}$$a_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{5}}{a}_n+{\displaystyle \frac{8}{5}}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{），}$

$b_1=3\text{，}$$b_{n+1}=5b_n-{\displaystyle \frac{24}{5^n}}-8$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$

で定義される．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(2)　すべての$n$に対して，$a_n=b_n$であることを示せ．

(3)　$|a_n-2|<2^{-100}$を満たす最小の$n$を求めよ．ただし，${\log }_{10}2=0.3010$である．

【３】　白玉が$18$個，赤玉が$2$個入った袋をよくかきまぜて，その中から$1$個ずつ玉を$n$回取り出す．ただし，取り出した玉は袋に戻さないものとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$2$回目にはじめて赤玉が出る確率を求めよ．

(2)　$3$回取り出したときに赤玉が$1$個以上出る確率を求めよ．

(3)　$n$回取り出したときに赤玉が$1$個以上出る確率が${\displaystyle \frac{3}{4}}$より大きくなる最小の$n$を求めよ．

【４】　四面体$\mathrm{OABC}$において，

$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=1\text{，}$$\mathrm{\angle AOB}=\mathrm{\angle AOC}=\mathrm{\angle BOC}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$

とする．線分$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{P}\text{，}$線分$\mathrm{AB}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{Q}\text{，}$線分$\mathrm{BC}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{R}\text{，}$線分$\mathrm{OC}$を$t:1-t$$\text{（}0<t<1\text{）}$に内分する点を$\mathrm{S}$とする．このとき，線分$\mathrm{QS}$と線分$\mathrm{PR}$が点$\mathrm{T}$で交わる．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$t$の値を求めよ．さらに，$\overrightarrow{\mathrm{OT}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(2)　$\cos \mathrm{\angle TPQ}$を求めよ．

(3)　三角形$\mathrm{TPQ}$の面積を求めよ．

(4)　四角形$\mathrm{PQRS}$の面積を求めよ．