2019　岡山県立大学　前期MathJax

【１】　$n$を正の整数とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)　次の等式が成り立つことを示せ．

${(1+2+3+\cdots +n)}^2$$=1^3+2^3+3^3$$+\cdots +n^3$

(2)　$S={\displaystyle \sum _{k=1}^n}k(k-1)(k-2)$を求めよ．

【２】　数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とする．

$S_n=2a_n-n^2$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

が成り立つとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a_1$の値を求めよ．

(2)　$a_{n+1}$を$a_n$で表せ．

(3)　$b_n=a_n+2n+3$とおくとき，$b_{n+1}$を$b_n$で表せ．

(4)　一般項$a_n$を求めよ．

【３】　$a\text{，}$$b$を実数とする．$2$次方程式$x^2+2ax+b=0$が実数解$\alpha \text{，}$$\beta$をもつとする．重解の場合は$\alpha =\beta$と考える．次の問いに答えよ．

(1)　$a$と$b$が満たす条件を求めよ．

(2)　${\alpha }^2+{\beta }^2\leqq 8$をみたす点$(a,b)$の存在範囲を$D$とする．$D$を図示せよ．

(3)　領域$D$の面積を求めよ．

(4)　点$(a,b)$が領域$D$内を動くとき，$a+b$の最大値と最小値を求めよ．

【４】　次の問いに答えよ．

(1)　$a>1$とする．定積分${\displaystyle {\int }_a^{a+1}}{\displaystyle \frac{1}{x^2-1}}\mathit{dx}$を求めよ．

(2)　$n$が$2$以上の整数であるとき，次の不等式が成り立つことを示せ．

${\displaystyle \frac{1}{2^2-1}}+{\displaystyle \frac{1}{3^2-1}}+{\displaystyle \frac{1}{4^2-1}}$$+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{n^2-1}}$$>{\displaystyle \frac{1}{2}}\log {\displaystyle \frac{3n}{n+2}}$