2019　公立鳥取環境大学　前期MathJax

(3)　一の位の数が $a_{1} ，$ 十の位の数が $a_{2} ，$ 百の位の数が $a_{3} ，$ $\dots ，$ であるような $n \overset{けた}{桁}$ $（ n = 1 ，$ $2 ，$ $3 ，$ $\dots ）$ の正の整数 $p$ について，各位の数の和が $9$ の倍数ならば $p$ は $9$ の倍数であることを証明せよ．

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2019　公立鳥取環境大学　前期

易□　並□　難□

【３】　 $a ，$ $b$ を実数とし， $a \neq 0$ とする．このとき， $1$ 次関数 $f (x) = a x + b$ に対して，以下の問に答えよ．

(1)　 ${\int_{0}^{1} f (x) dx}^{3}$ を求めよ．

(2)　 $\int_{0}^{1} {f (x)}^{3} dx$ を求めよ．

(3)　 $a < 0$ かつ $a + b ≧ 0$ ならば，以下の不等式

${\int_{0}^{1} f (x) dx}^{3} < \int_{0}^{1} {f (x)}^{3} dx$

が成り立つことを証明せよ．

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易□　並□　難□

【４】　正の奇数を小さい順に並べて得られる数列 $1 ，$ $3 ，$ $5 ，$ $7 ，$ $\dots$ を ${a_{n}}$ で表す．また，数列 ${a_{n}}$ を次のような群に分ける．ただし， $m = 1 ，$ $2 ，$ $3 ，$ $\dots$ に対して，第 $m$ 群に入る項の個数は $2 m - 1$ （個）である．このとき，以下の問に答えよ．

第 $1$ 群： $1$

第 $2$ 群： $3, 5, 7$

第 $3$ 群： $9, 11, 13, 15, 17$

第 $4$ 群： $19, 21, 23, 25, 27, 29, 31$

第 $5$ 群： $33, \dots$

$⋮$

(1)　数列 ${a_{n}}$ の一般項を求めよ．

(2)　第 $1$ 群から第 $m$ 群までに入る項の個数の和を求めよ．

(3)　第 $20$ 群の先頭から数えて $19$ 番目の項を求めよ．

(4)　 $m = 1 ，$ $2 ，$ $3 ，$ $\dots$ に対して，第 $m$ 群の先頭から数えて $m$ 番目の項を取り出して小さい順に並べた数列 $1 ，$ $5 ，$ $13 ，$ $25 ，$ $\dots$ を ${b_{m}}$ で表す．このとき，数列 ${b_{m}}$ の一般項を求めよ．

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