2019　和歌山県立医科大学　前期MathJax

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2019　和歌山県立医科大学　前期

易□　並□　難□

【１】(1)　 $x y + 2 = 3 (x - y)$ をみたす整数 $x ，$ $y$ の組をすべて求めよ．

(2)　 $x y + 456 = 789 (x - y)$ をみたす整数 $x ，$ $y$ で，それらの差が $10$ 以下となる組を全て求めよ．

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易□　並□　難□

【２】(1)　 $z + \frac{1}{z}$ が実数となるような複素数 $z$ 全体を，複素数平面上で図示せよ．

(2)　複素数 $z$ が $0$ 以外の実軸上を動くとき， $w = z + \frac{1}{z}$ が複素数平面上で描く範囲を図示せよ．

(3)　 $θ$ を実数とする． $z + \frac{1}{z} = 2 \cos θ$ となり複素数 $z$ を求めよ．

(4)　 $z + \frac{1}{z} = z^{5} + \frac{1}{z^{5}}$ をみたす複素数 $z$ の個数を求めよ．

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易□　並□　難□

【３】　座標平面において，点 $P$ は放物線 $y = x^{2}$ 上にあるとし，その $x$ 座標は $- 2 ≦ x ≦ 2$ をみたしているとする．また点 $Q$ は $(1, 3)$ にあるとする． $P$ と $Q$ との距離が最大，最小となるときの $P$ の $x$ 座標はそれぞれ $- \frac{1}{2}$ 以上， $\frac{3}{2}$ 以上であることを示し，さらにそれらの小数第 $1$ 位までを求めよ．

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易□　並□　難□

【４】　数列 ${a_{n}}$ を $a_{1} = 3 ，$ $a_{n + 1} = \frac{1 + a_{n}}{1 - a_{n}}$ $（ n = 1 ，$ $2 ，$ $3 ，$ $\dots ）$ で定義する．

(1)　 $a_{2} ，$ $a_{3} ，$ $a_{4} ，$ $a_{5}$ を求めよ．

(2)　 $S_{n} = \sum_{k = 1}^{4 n} \frac{a_{k}}{2^{k}}$ とおく． $\lim_{n \to \infty} S_{n}$ を求めよ．

(3)　 ${a_{n}}$ の第 $n^{3}$ 項を $b_{n}$ で表し，数列 ${c_{n}}$ を $c_{n} = b_{1} b_{2} \dots b_{n}$ $（ n = 1 ，$ $2 ，$ $3 ，$ $\dots ）$ で定義する． $c_{1} ，$ $c_{2} ，$ $c_{3} ，$ $c_{4} ，$ $c_{5}$ を求めよ．

(4)　(3)の ${c_{n}}$ に対し， $T_{n} = \sum_{k = 1}^{4 n} c_{k}$ とおく． $\lim_{n \to \infty} T_{n}$ を求めよ．