2019　兵庫県立大学　中期MathJax

(ア)　任意の実数$x\text{，}$$y$について，$f(x,y)=f(y,x)\text{．}$

(イ)　任意の実数$x\text{，}$$y\text{，}$$p$について，$f(x+p,y+p)=f(x,y)+p\text{．}$

(ウ)　任意の実数$x\text{，}$$y$と，$0$以上の任意の実数$a$について，$f(ax,ay)=af(x,y)\text{．}$

(エ)　$f(1,0)=1\text{．}$

　以下の問に答えなさい．

(1)　$f(3,1)=3\text{，}$$f(-2,{\displaystyle \frac{2}{3}})={\displaystyle \frac{2}{3}}$を示しなさい．

(2)　関数$f(x,y)$は，$2$つの実数$x\text{，}$$y$のうちの最大のものを対応させること，すなわち，$x\geqq y$ならば$f(x,y)=x$および$f(y,x)=x$が成り立つことを示しなさい．

(1)　点$\mathrm{C}$の座標を求めなさい．

(2)　$\mathrm{▵OAB}$の周上あるいは内部にあって，$\mathrm{OP}\perp \mathrm{CP}$を満たす点$\mathrm{P}$の軌跡$L$の長さを求めなさい．ただし，$\mathrm{P}\ne \mathrm{O}$とする．

(1)　関数$f(t)$が極値をもつための$k$が満たすべき必要十分条件を求めなさい．

(2)　実数$\alpha \text{，}$$\beta$に対して，関数$f(t)$が$t=\alpha$で極大値を，$t=\beta$で極小値をとるとする．このとき，$\alpha >0$かつ$\beta >0\text{，}$および，$f(\alpha )>0$かつ$f(\beta )>0$であることを示しなさい．

(3)　$3$次曲線$C\text{：}y=2x(x^2-1)$と円$x^2+y^2=a^2$$\text{（}a>0\text{）}$との交点の個数が最大となるとき，$a$が取り得る値の範囲を求めなさい．

(ア)　箱の中から玉を$1$個無作為に取り出す．

(イ)　取り出した玉を箱に戻す．

(ウ)　箱の中に赤い玉を$1$個追加する．

　以下の問に答えなさい．

(1)　白い玉を$1$回も取り出さない確率を$n$を用いて表しなさい．

(2)　白い玉をちょうど$1$回取り出す確率を$q_n$とするとき，極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{q}_n$を求めなさい．

$d({\mathrm{P}}_1,{\mathrm{P}}_2)=|x_1-x_2|+|y_1-y_2|$

　点$\mathrm{O}$$(0,0)\text{，}$点$\mathrm{A}$$(1,0)$が与えられているとき，次の問に答えなさい．

(1)　$d(\mathrm{O},\mathrm{P})=1$を満たす$\mathrm{P}$$(x,y)$の存在範囲を図示しなさい．

(2)　定数$t$$(0<t<{\displaystyle \frac{1}{2}})$に対して，

$(1-t)d(\mathrm{O},\mathrm{P})=td(\mathrm{A},\mathrm{P})$

を満たす$\mathrm{P}$$(x,y)$の存在範囲を図示しなさい．

$A(m,n)={\displaystyle {\int }_a^b}{(x-a)}^m{(x-b)}^n\mathit{dx}$

と定義する．次の問に答えなさい．

(1)　関数$f(x)\text{，}$$g(x)$は微分可能で，$f(a)=0$および$g(b)=0$を満たすとする．このとき，次の等式が成り立つことを示しなさい．

${\displaystyle {\int }_a^b}{f}^{\prime }(x)g(x)\mathit{dx}+{\displaystyle {\int }_a^b}f(x)g^{\prime }(x)\mathit{dx}=0$

(2)　$(m+1)A(m,n+1)+(n+1)A(m+1,n)$を求めなさい．

(3)　$A(m,n)$について次が成り立つことを示しなさい．

$A(m,n)={(-1)}^n{\displaystyle \frac{m!n!}{(m+n+1)!}}{(b-a)}^{m+n+1}\text{．}$

(1)　$X$が偶数である．

(2)　$X$が$3$の倍数である．

(3)　$X$が$6$の倍数である．

(4)　$X$が$4$の倍数である．

(1)　すべての実数$x$に対して，不等式${\displaystyle \frac{1}{x^2+1}}\leqq 1-x^2+x^4$が成り立つことを証明せよ．

(2)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}}}{\displaystyle \frac{\mathit{dx}}{x^2}}$を求めよ．

(3)　円周率$\pi$は$3.16$より小さいことを証明せよ．ただし，$1.732<\sqrt{3}<1.733$を用いてよい．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OI}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OI}}+\overrightarrow{\mathrm{AI}}+\overrightarrow{\mathrm{BI}}=\overrightarrow{\mathrm{OG}}$が成り立つとき，$a\text{，}$$b$をそれぞれ$c$を用いて表せ．

(1)　$\sin x$のとりうる値の範囲を求めよ．

(2)　$t=\cos 2x+8\cos 2y$とおくとき，$t$の最大値と最小値を求めよ．

(1)　$s\text{，}$$t$をそれぞれ$\alpha \text{，}$$\beta$を用いて表せ．

(2)　$\mathrm{\angle PRQ}=\theta$とおく．ただし，$0<\theta <\pi$とする．このとき，$\cos \theta$を$\alpha \text{，}$$\beta$を用いて表せ．

(3)　点$\mathrm{R}$が直線$y={\displaystyle \frac{1}{2}}x-1$上を動くとする．(2)の$\theta$が最小となるときの点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．