2019　兵庫県立大学　前期MathJax

$\max (-3,5)=5\text{，}$$\min (-3,5)=-3\text{，}$$\max (4,4)=4\text{，}$$\min (4,4)=4$

である．そこで，次の等式$\text{①}$を考える．

$\max (x,y)=\min (x+y,1)$$\cdots \text{①}$

以下の問に答えなさい．

(1)　$\text{①}$を満たす$x\text{，}$$y$の組$(x,y)$で$y={\displaystyle \frac{1}{2}}$となるものをすべて求めなさい．

(2)　$\text{①}$を満たす$(x,y)$が表す点全体が作る集合を図示しなさい．

(1)　$t$の取り得る値の範囲を求めなさい．

(2)　$f(\theta )$を$t$の式として表しなさい．

(3)　$f(\theta )>0$を満たす$\theta$の値の範囲を求めなさい．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表しなさい．

(2)　$\mathrm{▵PAB}\text{，}$$\mathrm{▵PBC}\text{，}$$\mathrm{▵PCA}$の面積の比を求めなさい．

(3)　直線$\mathrm{AP}$上に点$\mathrm{Q}$をとり，$\mathrm{▵QAB}$と$\mathrm{▵QBC}$の面積比が$3:1$になるようにする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{QA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{QB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{QC}}$が満たす関係式を求めなさい．

(1)　$\mathrm{B}$が優勝する確率を求めなさい．

(2)　$\mathrm{C}$が優勝する確率を求めなさい．

(3)　$\mathrm{A}$が準優勝する確率を求めなさい．

(4)　$\mathrm{A}$が準優勝する確率と$\mathrm{H}$が準優勝する確率が等しくなるような$p$の値をすべて求めなさい．ここで，準優勝とは決勝戦で敗れることをいう．

(1)　円$C_1$が角${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$だけ回転したとき，すなわち，$\mathrm{\angle QOA}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$となったときの点$\mathrm{P}$の座標を求めなさい．

(2)　一般に，円$C_1$が角$\theta$$\text{（}0\leqq \theta \leqq 2\pi \text{）}$だけ回転したときの点$\mathrm{P}$の座標を$\theta$を用いて表しなさい．

(3)　点$\mathrm{P}$の$y$座標の$2$乗を$f(\theta )$とおく．$f(\theta )$を$\cos \theta$の式として表しなさい．また，$0\leqq \theta \leqq 2\pi$のとき，点$\mathrm{P}$の$y$座標の最大値を求めなさい．

(1)　$\mathrm{B}$が優勝する確率を求めなさい．

(2)　$\mathrm{C}$が優勝する確率を求めなさい．

(3)　$\mathrm{A}$が準優勝する確率と$\mathrm{H}$が準優勝する確率が等しくなるような$p$の値をすべて求めなさい．ここで，準優勝とは決勝戦で敗れることをいう．

(1)　$S={\displaystyle {\int }_1^n}\log x\mathit{dx}$を求めなさい．また，${\displaystyle {\int }_2^{n+1}}\log (x-1)\mathit{dx}$は$S$と等しいことを示しなさい．

(2)　次の不等式$\text{①}$が成り立つことを示しなさい．

$n\log n-n+1$$<{\displaystyle \sum _{k=1}^n}\log k$$<(n+1)\log n-n+1$$\cdots \text{①}$

(3)　不等式$\text{①}$を用いて次の極限値を求めなさい．ただし，必要ならば$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\log n}{n}}=0$であることは証明せずに用いて良い．

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\log n!-\log {\left({\displaystyle \frac{n}{e}}\right)}^n}{n}}$

$x=a(1+\sin 2\theta )\text{，}$$y=\sqrt{2}a(\cos \theta -\sin \theta )$$(-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{4}})$

で表される曲線$C$について，次の問いに答えよ．

(1)　$\theta$を消去して，$x$と$y$の方程式を求め，曲線$C$を図示せよ．

(2)　$x$軸，$y$軸および曲線$C$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積が${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$に等しいとき，$a$の値を求めよ．

$a_1=3\text{，}$$a_{n+1}={a_n}^2-2a_n+2$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

(1)　$a_3$を求めよ．

(2)　一般項$a_n$を，$n$の式で表せ．

(3)　$a_{n+2}-2$は$a_n$の倍数であることを示せ．

${\displaystyle \frac{\beta }{\alpha }}={\displaystyle \frac{2-\sqrt{3}i}{\gamma }}={\displaystyle \frac{\bar{\alpha }}{2+\sqrt{3}i}}$

を満たしている．ただし，$\left|\alpha \right|=\sqrt{3}$であり，$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{D}$は一直線上にない．次の問いに答えよ．

(1)　$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{D}$は一直線上にあることを示せ．

(2)　${\displaystyle \frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{AB}}}$の値を求めよ．

(3)　$\mathrm{\angle AOB}=90\mathrm{°}$のとき，${\displaystyle \frac{\alpha }{2-\sqrt{3}i}}$の実部を求めよ．

(1)　$f(x)$の最大値を求めよ．

(2)　$g(x)$が極値をとるような$a$の値の範囲を求めよ．