2019　大阪府立大学　中期MathJax

(1)　複素数$z$を実数$a\text{，}$$b$を用いて

$z=a+bi$

と表す．このとき，$a+b$の最大値と最小値を求めよ．

(2)　複素数$w$が以下の等式を満たすとする．

$|w-1|=|w-i|=|w-z|$

このとき，$\left|w\right|$の最大値と最小値を求めよ．

（(1)，(2)については計算の過程を記入しなくてよい．）

(1)　曲線$y=f(x)$上を動く点$\mathrm{P}$を考える．点$\mathrm{P}$における接線の傾きが最小となる点$\mathrm{P}$の$x$座標を求めよ．

(2)　曲線$y=f(x)$上の相異なる$2$点

$\mathrm{Q}$$(q,f(q))\text{，}$$\mathrm{R}$$(r,f(r))$

における接線が平行であるとき，$r$と$q$が満たす等式を求めよ．

(3)　$q\text{，}$$r$が(2)で求めた等式と$r=q+1$を満足するとき，$q$の値を求めよ．

（(1)，(2)，(3)については計算の過程を記入しなくてよい．）

$x=t^2\text{，}$$y=t-{\displaystyle \frac{t^3}{3}}$

で表される点を$\mathrm{S}(t)$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$a<b$で$\mathrm{S}(a)=\mathrm{S}(b)$となる$a$と$b$の値と，そのときの$\mathrm{S}(a)$の座標を求めよ，

(2)　$t$が$a\leqq t\leqq b$を動くときの点$\mathrm{S}(t)$の軌跡を$C$とする．このとき，$C$の長さを求めよ．ただし，$a\text{，}$$b$は(1)で求めた値とする．

(3)　(2)で定義された曲線$C$によって囲まれた図形の面積を求めよ．

（(1)，(2)，(3)については計算の過程を記入しなくてよい．）

$x^2+2ax+b=0$

が実数解をもつ確率を$P_n$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$P_1\text{，}$$P_2$をそれぞれ求めよ．

(2)　$n$を$3$以上の自然数とする．$\sqrt{n}$を超えない最大の整数を$c_n$とするとき，$P_n$を$n$と$c_n$を用いて表せ．

(3)　極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{P}_n$を求めよ．

（(1)，(2)，(3)については計算の過程を記入しなくてよい．）

$A(\theta )={\displaystyle {\int }_0^{\theta }}{e}^x\sin x\mathit{dx}\text{，}$$B(\theta )={\displaystyle {\int }_0^{\theta }}{e}^x\cos x\mathit{dx}$

とおく．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$A(\theta )+B(\theta )$を求めよ．

(2)　$-A(\theta )+B(\theta )$を求めよ．

(3)　$A(\theta )\text{，}$$B(\theta )$を求めよ．

(4)　関数$f(x)$を$f(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}(\sin x+|\sin x|)$とし，

$F(\theta )={\displaystyle {\int }_0^{\pi }}f(\theta -x)e^{-x}\mathit{dx}$

とおく．$0\leqq \theta \leqq \pi$のとき$F(\theta )$を求めよ．

（(1)，(2)，(3)については計算の過程を記入しなくてよい．）