2019　大阪府立大学　前期MathJax

【１】　$n$を自然数とする．$2$つの数列$\{a_n\}$と$\{S_n\}$を次のように定める．$a_1=1$とし，$x$が$0<x<a_n$の範囲を動くとき，座標平面上の$4$点$(a_n,0)\text{，}$$(x,0)\text{，}$$(x,x^2)\text{，}$$(a_n,x^2)$を頂点とする長方形の面積が最大となる$x$の値を$a_{n+1}$とし，そのときの長方形の面積を$S_n$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$a_{n+1}\text{，}$$S_n$をそれぞれ$a_n$を用いて表せ．

(2)　$a_n\text{，}$$S_n$をそれぞれ$n$の式で表せ．

(3)　$S_1+S_2+\cdots +S_n$を$n$の式で表せ．

(4)　$S_1+S_2+\cdots +S_n>0.2105$となる最小の$n$の値を求めよ．ただし，${\log }_{10}2=0.3010\text{，}$${\log }_{10}3=0.4771$とする．

解答は，答えのみを解答用紙の所定の欄に記入せよ．

【２】　四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{D}\text{，}$辺$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{E}$とし，線分$\mathrm{OE}$と線分$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{F}$とする．三角形$\mathrm{OBC}$上の点$\mathrm{P}$に対して，線分$\mathrm{AP}$と三角形$\mathrm{OBE}$との交点を$\mathrm{Q}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=\overrightarrow{e}$とおくとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$および$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{e}$の式で表せ．

(2)　点$\mathrm{P}$が三角形$\mathrm{OBC}$の重心であるとき，$\mathrm{AP}:\mathrm{AQ}$を答えよ．

(3)　点$\mathrm{P}$が$\mathrm{AP}:\mathrm{AQ}=3:2$を満たしながら三角形$\mathrm{OBC}$の内部（境界を含む）を動く．$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=x\overrightarrow{b}+y\overrightarrow{e}$とおくとき，点$(x,y)$が動く範囲を座標平面上に図示せよ．

【３】　$a$を実数とし，直線$l\text{：}y=x$と曲線$C\text{：}y=x^2+a$は，ある点で接しているとする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$a$の値と，直線$l$と曲線$C$の接点の座標を求めよ．

(2)　原点を$\mathrm{O}$とする．$x$座標が$t$である曲線$C$上の点を$\mathrm{P}$とし，$\mathrm{P}$から直線$l$に下ろした垂線を$\mathrm{PH}$とする．線分$\mathrm{PH}$の長さと線分$\mathrm{OH}$の長さをそれぞれ$t$の式で表せ．

(3)　直線$l$と曲線$C$および直線$y=-x$で囲まれた図形を直線$l$のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

【３】　以下の問いに答えよ．

(1)　自然数$n$で，$n^2-1$が素数になるものをすべて求めよ．

(2)　$0\leqq n\leqq m$を満たす整数$m\text{，}$$n$の組$(m,n)$で，$3m^2+mn-2n^2$が素数になるものをすべて求めよ．

(3)　$0$以上の整数$m\text{，}$$n$の組$(m,n)$で，$m^4-3m^2{n}^2-4n^4-6m^2-16n^2-16$が素数になるものをすべて求めよ．

【４】　座標平面上の点$(1,0)$を中心として半径$1$の円を$C$とする．実数$t$は$0\leqq t\leqq \pi$の範囲を動くとし，$C$上の点$\mathrm{P}$$(\cos t+1,\sin t)$における接線を$l$とする．$l$に垂直で原点を通る直線を$m$として，$l$と$m$の交点を$\mathrm{H}$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．

(2)　$0<t<\pi$のとき，原点，$\mathrm{H}\text{，}$$\mathrm{P}$を頂点とする三角形の面積を$S(t)$とし，$t=0$または$t=\pi$のとき，$S(t)=0$とする．$t$の関数$S(t)$の最大値を求めよ．

(3)　$S(t)$が最大値をとる$t$の値を$t_0$とする．$t$が$0$から$t_0$まで動いたときに点$\mathrm{H}$が通過する道のりを求めよ．ここで，「点$\mathrm{H}$が通過する道のり」とは，$t$が$0$から$t_0$まで動くときに点$\mathrm{H}$が描く曲線の長さのことである．

【４】　$a$を正の実数の定数とし，曲線$y=x^3-3a^{2}x$を$C$とする．正の実数$t$に対し，曲線$C$上の点$\mathrm{P}$$(t,t^3-3a^{2}t)$における接線を$l$とし，$C$と$l$の共有点で$\mathrm{P}$以外の点を$\mathrm{Q}$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

(2)　曲線$C$と接線$l$によって囲まれた部分の面積を求めよ．

(3)　条件「点$\mathrm{Q}$における曲線$C$の接線が$l$に垂直である」を満たす正の実数$t$がただ$1$つ存在するとき，正の実数$a$の値を求めよ．また，そのときの正の実数$t$の値を求めよ．