2019　大阪市立大学　後期MathJax

【１】　曲線$x^2-y^2=-4$のうち$y>0$を満たす部分を$C$とする．このとき，次の問いに答えよ．

問１　曲線$C$の概形を漸近線も含めて描け．

問２　$x=e^t-e^{-t}\text{，}$$y=e^t+e^{-t}$が曲線$C$の媒介変数表示であることを示せ．

問３　$p$を正の数とし，$C$上の点$(p,\sqrt{p^2+4})$を$\mathrm{P}$とする．また原点を$\mathrm{O}$とする．線分$\mathrm{OP}$と曲線$C$と$y$軸で囲まれる部分の面積$S(p)$を求めよ．

問４　$\underset{p\to \infty }{\lim }(S(p)-a\log p)=0$となる定数$a$を求めよ．ここで$\log$は自然対数を表す．

【２】　関数$f(x)$は第$2$次導関数をもち，すべての実数$x$に対して$f^{″}(x)\geqq 0$を満たすとする．このとき，次の問いに答えよ．

問１　実数$x$と$a$に対して，不等式

$f(x)\geqq f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)$

が成り立つことを示せ．

問２　関数$g(t)$は$0\leqq t\leqq 1$で連続であるとする．このとき，問１において$x=g(t)\text{，}$$a={\displaystyle {\int }_0^1}g(s)ds$とおくことにより，不等式

${\displaystyle {\int }_0^1}f(g(t))dt\geqq f({\displaystyle {\int }_0^1}g(s)ds)$

が成り立つことを示せ．

【３】　$6$つの面が次の規則に従って点滅するサイコロがある．

(1)　各時刻に点灯している面は$1$つである．

(2)　時刻$k+1$に点灯する面は，時刻$k$で点灯していた面に隣接する$4$つの面のうちのどれか$1$つで，点灯する確率はそれぞれ${\displaystyle \frac{1}{4}}$である．

$n$を自然数とするとき，次の問いに答えよ．

問１　時刻$0$で点灯していた面と，時刻$n$に点灯している面が同じである確率$p_n$を求めよ．

問２　$0\leqq k\leqq n$を満たす整数$k$に対し，時刻$k$に点灯している面の数字を$a_k$とすると，数列$a_0,$$a_1,$$\cdots ,$$a_n$が得られる．このとき，$a_0=a_n$となる数列は全部で何通りの可能性があるか答えよ．

【４】　自然数$m$と互いに素な$m$以下の自然数の個数を$\phi (m)$と表す．

問１　$p$を素数，$n$を自然数とするとき，$\phi (p^n)=p^n-p^{n-1}$を示せ．

以下の設問では，$m_1\text{，}$$m_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$m_6\text{，}$$h$を，次の(1)，(2)を満たす自然数とする．

(1)　$m_1<m_2<\cdots <m_6<h$

(2)　$h$と互いに素な$h$未満の自然数は集合$\{m_1,m_2,\cdots ,m_6\}$に属する．

このとき，次の問いに答えよ．ただし，$m$と$n$が互いに素な自然数であるとき，$\phi (mn)=\phi (m)\phi (n)$が成立することは使ってよい．

問２　$h$は$11$以上の素数で割り切れないことを示せ．

問３　$m_2=4$のとき$h$を求めよ．

【５】　$a\text{，}$$c$を正の実数，$b$を複素数とする．すべての複素数$z$に対して，不等式

$a{\left|z\right|}^2+(bz+\overline{bz})+c\geqq 0$

が成り立っているとする．以下の問いに答えよ．

問１　不等式${\left|b\right|}^2-ac\leqq 0$が成り立つことを示せ．

問２　すべての複素数$z$に対して，不等式

$a{\left|z\right|}^2+(bz+\overline{bz})+c$$\leqq (a+c)(1+{\left|z\right|}^2)$

が成り立つことを示せ．

【２】　自然数$n$に対して，多項式$P_n(x)\text{，}$$Q_n(x)$を

$P_1(x)=x\text{，}$$Q_1(x)=1$

$P_{n+1}(x)=x{P}_n(x)+(x^2-1)Q_n(x)$

$Q_{n+1}(x)=P_n(x)+x{Q}_n(x)$

で定める．$\theta$を実数とするとき，次の問いに答えよ．

問１　$P_n(\cos \theta )=\cos n\theta \text{，}$$Q_n(\cos \theta )\sin \theta =\sin n\theta$となることを数学的帰納法により示せ．

問２　定積分${\displaystyle {\int }_{-1}^1}{P}_n(x)dx$を求めよ．

問３　${P_n}^{\prime }(x)=n{Q}_n(x)$となることを示せ．

【４】　$\alpha$を$0<\alpha <1$を満たす実数とする．自然数$n$に対して，$3^{n-1}\alpha$の整数部分を$a_n\text{，}$小数部分を$b_n$とする．$b_n$が条件

$n$が奇数のとき，${\displaystyle \frac{1}{3}}\leqq b_n\leqq {\displaystyle \frac{2}{3}}$

$n$が偶数のとき，$0\leqq b_n<{\displaystyle \frac{1}{3.}}$

を満たすとき，以下の問いに答えよ．ただし，実数$x$に対して，$x$の整数部分が$a\text{，}$小数部分が$b$であるとは，$a$が整数であり，$0\leqq b<1$であって$x=a+b$と表されることをいう．

問１　$k$を自然数とするとき，$b_{2k+1}$を$b_{2k}$を用いて表せ．

問２　$k$を自然数とするとき，$b_{2k}$を$b_{2k-1}$を用いて表せ．

問３　$\alpha$を求めよ．