2019　大阪市立大学　前期MathJax

【１】　原点$\mathrm{O}$とは異なる$2$点$\mathrm{P}(a,b)\text{，}$$\mathrm{Q}(c,d)$が与えられていて，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=k\overrightarrow{\mathrm{OP}}$$\text{（}k>0\text{）}$とする．また，$\mathrm{OP}\cdot \mathrm{OQ}=4$とする．次の問いに答えよ．

問１　$k$を$c\text{，}$$d$を用いて表せ．

問２　点$\mathrm{P}$が直線$2x+y-6=0$上を動くとき，点$\mathrm{Q}$はある円$C$上を動く．円$C$の方程式を求めよ．

問３　問２において，点$\mathrm{P}$が直線$2x+y-6=0$上を$(0,6)$から$(3,0)$まで動くとき，円$C$上で点$\mathrm{Q}$の動く範囲を図示せよ．

【２】　放物線$C\text{：}y=x^2$上に$2$点$\mathrm{A}(a,a^2)\text{，}$$\mathrm{B}(b,b^2)$$\text{（}-b<a<0<b\text{）}$をとる．点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$における放物線$C$の接線をそれぞれ$l\text{，}$$m$とし，$l$と$m$の交点を$\mathrm{P}$とする．また，直線$\mathrm{AB}$と$x$軸のなす角を$\alpha \text{，}$接線$m$と$x$軸のなす角を$\beta$とする．ただし，$0<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}$$0<\beta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．次の問いに答えよ．

問１　直線$\mathrm{AB}$と接線$m$の方程式を$a\text{，}$$b$を用いて表せ．

問２　$\beta =\alpha +{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$のとき，$a$を$b$を用いて表せ．

問３　$\beta =\alpha +{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$かつ$\mathrm{\angle BAP}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき，$a\text{，}b$の値を求めよ．

【３】　$k$は実数とする．$\mathrm{O}$を原点とする座標空間内に$3$点

$\mathrm{A}(1,1,-1)\text{，}$$\mathrm{B}(4k,-2k+2,-k+1)\text{，}$$\mathrm{C}(4k+4,-2k,-k)$

をとり，四面体$\mathrm{OABC}$を考える．次の問いに答えよ．

問１　大きさが$1$のベクトル$\overrightarrow{n}$で，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$の両方に垂直であるものをすべて求めよ．

問２　$0<s<1\text{，}$$0<t<1$とし，辺$\mathrm{OA}$を$s:(1-s)$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$辺$\mathrm{BC}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$k\text{，}$$s\text{，}$$t$を用いて表せ．

問３　$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$は問２の内分点とする．$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$が$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$の両方に垂直であるとき，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

【４】　$a$は実数とする．$y=x^3-2x^2+x$が定める曲線$C$と$y=ax$が定める直線$l$を考える．次の問いに答えよ．

問１　曲線$C$と直線$l$が異なる$3$点で交わるための$a$の条件を求めよ．

問２　曲線$C$と直線$l$が異なる$3$点で交わるとき，それらの$x$座標を$0\text{，}$$\alpha \text{，}$$\beta$として，$0<\alpha <\beta$が成り立っているとする．$\alpha \leqq x\leqq \beta$の範囲で曲線$C$と直線$l$で囲まれた部分の面積$S$を$a$を用いて表せ．

【１】　座標平面上の円${(x-t)}^2+y^2=1$を$C_t\text{，}$$C_t$で囲まれた領域を$D_t$とする．$0\leqq t\leqq 2$に対し，$D_0$と$D_t$の共通部分の面積を$S(t)$とする．$0<t<2$に対し，$C_0$と$C_t$の交点のうち$y$座標が正の方を${\mathrm{P}}_t$とする．座標平面の原点を$\mathrm{O}$として，半直線${\mathrm{OP}}_t$と$x$軸の正の向きのなす角を$\theta$で表す．次の問いに答えよ．

問１　$0<t<2$のとき，$S(t)$の値を$\theta$を用いて表せ．

問２　$0<t<2$のとき，$t$を$\theta$を用いて表せ．

問３　${\displaystyle {\int }_0^2}S(t)dt$の値を求めよ．

【２】　$0$でない複素数$z$に対して

$w=z+{\displaystyle \frac{1}{z}}$

とおく．$i$を虚数単位とし，$z$の極形式を$z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$とする．また，$w$の実部を$u\text{，}$$w$の虚部を$v$とする．次の問いに答えよ．

問１　$u\text{，}$$v$をそれぞれ$r$と$\theta$を用いて表せ．

問２　点$z$が条件$|z+1|=|z-i|$$\text{（}0<\theta <\pi \text{）}$を満たして複素数平面上を動くとき，$u$と$v$が満たす関係式を求め，点$w$が描く図形を複素数平面上に図示せよ．また，$\underset{r\to \infty }{\lim }u$と$\underset{r\to 0}{\lim }v$を求めよ．

【３】　$k$は実数とする．$\mathrm{O}$を原点とする座標空間内に$3$点

$\mathrm{A}(1,1,-1)\text{，}$$\mathrm{B}(4k,-2k+2,-k+1)\text{，}$$\mathrm{C}(4k+4,-2k,-k)$

を考える．次の問いに答えよ．

問１　大きさが$1$のベクトル$\overrightarrow{n}$で，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$の両方に垂直であるものをすべて求めよ．

問２　$0<s<1\text{，}$$0<t<1$とし，辺$\mathrm{OA}$を$s:(1-s)$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$辺$\mathrm{BC}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$k\text{，}$$s\text{，}$$t$を用いて表せ．

問３　問２の内分点$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$で，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$が$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$の両方に垂直であるものが存在するとき，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．また，そのような$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$が存在するための$k$の条件を求めよ．

問４　$k$は問３で求めた範囲にあるものとする．問３の$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$と線分$\mathrm{PQ}$上の点$\mathrm{X}$に対し$\mathrm{▵XOA}$と$\mathrm{▵XBC}$の面積が一致するとき，その面積を求めよ．

【４】　自然数$n\text{，}$$s$$\text{（}s<n\text{）}$に対して

$I_n(s)={\displaystyle {\int }_0^1}{x}^{n-s}{(1-x)}^{s}dx$

とおく．次の問いに答えよ．

問１　$s<n-1$のとき，等式

$I_n(s)={\displaystyle \frac{n-s}{s+1}}{I}_n(s+1)$

が成り立つことを示せ．

問２　$I_n(s)$を$n$と$s$を用いて表せ．

問３　自然数$n\text{，}$$s$$\text{（}s<n\text{）}$に対して，等式

${\displaystyle \frac{1}{{}_{n}C_s}}={\displaystyle \sum _{k=0}^s}{(-1)}^k{\displaystyle \frac{n+1}{n-s+k+1}}{}_{s}C_k$

が成り立つことを示せ．ただし，${}_{s}C_0={}_{s}C_s=1$とする．