2019　京都府立医科大学　前期MathJax

【１】　関数$f(x)$を$f(x)={\displaystyle \frac{e^x+e^{-x}}{2}}$で定める．$xy$平面上の曲線$y=f(x)$を$C$とする．$0$以上の整数$k$に対して，$C$上の点$(k,f(k))$を${\mathrm{P}}_k$とおく．$n$は$1$以上の整数とする．

(1)　曲線$C$の概形をかけ．

(2)　線分${\mathrm{P}}_{k-1}{\mathrm{P}}_k$$\text{（}k\geqq 1\text{）}$と曲線$C$で囲まれる部分の面積を$a_k$とする．$a_k$を$k$を用いて表せ．

(3)　(2)の$a_k$に対して，$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$とおく．$S_n$を$n$を用いて表せ．

(4)　点${\mathrm{P}}_0$から点${\mathrm{P}}_n$までの曲線$C$の長さを$l_n$とする．(3)の$S_n$に対して，${\displaystyle \frac{S_n}{l_n}}$の値を求めよ．

【２】　$a$は正の実数とする．平面上に$\mathrm{▵OAB}$があり，辺$\mathrm{OA}$の長さは$a\text{，}$辺$\mathrm{OB}$の長さは$1\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の内積は${\displaystyle \frac{1}{2}}$であるとする．さらに，点$\mathrm{A}$を通り，直線$\mathrm{OB}$と$\mathrm{O}$で接し，辺$\mathrm{AB}$と交わる円$C$があるとする．辺$\mathrm{AB}$と円$C$の交点を$\mathrm{D}$とする．ただし，$\mathrm{D}$は$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$と異なる点とする．$\mathrm{▵OAD}$の内接円$C_1$の半径を$r_1$とし，$\mathrm{▵OBD}$の内接円$C_2$の半径を$r_2$とする．

(1)　$a$のとり得る値の範囲を求めよ．

(2)　線分$\mathrm{OD}$の長さを求めよ．

(3)　$r_1$および$r_2$を$a$を用いて表せ．

(4)　$r_1{r}_2$が最大となるとき，$a$の値を求め，円$C_1$と円$C_2$は接することを証明せよ．

【３】　複素数平面における円$C\text{：}\left|x\right|=1$を考える．複素数$z$に対して，$\bar{z}$は$z$に共役な複素数を表す．

(1)　円$C$上の点$\alpha$における接線を$l$とする．このとき$l$上の点$z$は等式

$z+{\alpha }^2\bar{z}=2\alpha$

を満たすことを証明せよ．

　次に$n$を$3$以上の整数とし，円$C$上に$n$個の点${\alpha }_1\text{，}$${\alpha }_2\text{，}$$\cdots \text{，}$${\alpha }_n$をとる．ただし，${{\alpha }_k}^2\ne {{\alpha }_{k+1}}^2$$\text{（}1\leqq k\leqq n-1\text{）}$かつ${{\alpha }_n}^2\ne {{\alpha }_1}^2$とする．点${\alpha }_k$における円$C$の接線を$l_k$$\text{（}1\leqq k\leqq n\text{）}$とする．$l_k$と$l_{k+1}$の交点を$z_k$$\text{（}1\leqq k\leqq n-1\text{）}$とし，$l_n$と$l_1$の交点を$z_n$とする．

(2)　このとき

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{n}}={\displaystyle \sum _{k=1}^n}\overline{{\alpha }_k}$

であることを証明せよ．

(3)　$\alpha =\cos {\displaystyle \frac{\pi }{2n}}+i\sin {\displaystyle \frac{\pi }{2n}}$とする．ここで$i$は虚数単位を表す．

${\alpha }_k=\cos {\displaystyle \frac{kn}{2\pi }}+i\sin {\displaystyle \frac{k\pi }{2n}}$$\text{（}1\leqq k\leqq n\text{）}$

としたときの$z_k$について

$(\alpha -1){\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{z_k}}$

の値を求めよ．

【４】　$n$は$2$以上の整数とし，正$2n$角形$K_n$を考える．$K_n$の$2n$個の頂点から異なる$3$個の頂点を無作為に選び，それらを頂点とする三角形$T$をつくる．$T$が直角三角形になる確率を$p_n$とし，$T$が鋭角三角形になる確率を$q_n$とする．

(1)　$p_3$と$q_3$を求めよ．

(2)　$p_n$を$n$を用いて表せ．

(3)　 $q_n$を$n$を用いて表せ．

(4)　 $\underset{n\to \infty }{\lim }{q}_n$を求めよ．