2019　京都府立大学　前期MathJax

【１】　正の実数$x$に対して$x$を超えない最大の整数を$[x]$と表すとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$a$を正の実数とする．${\displaystyle \sum _{k=1}^{50}}[a+{\displaystyle \frac{k+16}{100}}]=321$のとき，$[a]\text{，}$$[100a]$の値を求めよ．

(2)　$b$を正の実数とする．$[b]+[b+{\displaystyle \frac{1}{2}}]=[2b]$が成り立つことを示せ．

(3)　$n$を自然数，$c$を正の実数とする．${\displaystyle \sum _{k=1}^n}[c+{\displaystyle \frac{k-1}{n}}]=[nc]$が成り立つことを示せ．

【２】　数列$\{a_n\}$を$a_1={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}$$a_{2n}={\displaystyle \frac{a_{2n-1}+1}{2}}\text{，}$$a_{2n+1}={\displaystyle \frac{a_{2n}}{2}}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$で定める．以下の問いに答えよ．

(1)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(2)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_{2n-1}\text{，}$$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_{2n}$を求めよ．

(3)　数列$\{b_n\}$を$b_n=a_{2n-1}+a_{2n}-1$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$で定める．${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{b}_n$を求めよ．

【３】　$\mathrm{OA}=2\text{，}$$\mathrm{AB}=1\text{，}$$\mathrm{BO}=2$である$\mathrm{▵OAB}$を考える．時刻$0$において動点$\mathrm{P}$は$\mathrm{O}$を出発し，辺$\mathrm{OA}$上を$\mathrm{A}$まで速さ$1$で動き，$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{AB}$上を$\mathrm{B}$まで速さ$1$で動き，時刻$3$で停止する．時刻$0$において動点$\mathrm{Q}$は$\mathrm{A}$を出発し，辺$\mathrm{AB}$上を$\mathrm{B}$まで速さ$1$で動き，$\mathrm{B}$から辺$\mathrm{BO}$上を$\mathrm{O}$まで速さ$1$で動き，時刻$3$で停止する．時刻$0$において動点$\mathrm{R}$は$\mathrm{B}$を出発し，辺$\mathrm{BO}$上を$\mathrm{O}$まで速さ$1$で動き，$\mathrm{O}$から辺$\mathrm{OA}$上を辺$\mathrm{OA}$の中点まで速さ$1$で動き，時刻$3$で停止する．点$\mathrm{G}$を$\mathrm{▵PQR}$の重心とする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$\overrightarrow{g}=\overrightarrow{\mathrm{OG}}$とおく．以下の問いに答えよ．

(1)　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$の値を求めよ．

(2)　時刻$t$$\text{（}0\leqq t\leqq 1\text{）}$における${\left|\overrightarrow{g}\right|}^2$を$t$の多項式で表せ．

(3)　時刻$t$$\text{（}0\leqq t\leqq 3\text{）}$において${\displaystyle \frac{\sqrt{15}}{4}}\leqq \left|\overrightarrow{g}\right|\leqq {\displaystyle \frac{\sqrt{61}}{6}}$であることを示せ．

【４】　$a>0\text{，}$$r_1>0\text{，}$$r_2>0$とする．$xy$平面上に曲線$C\text{：}y=x^2-{\displaystyle \frac{1}{8}}\text{，}$円$C_1\text{：}{x}^2+y^2={r_1}^2\text{，}$円$C_2\text{：}{x}^2+{(y-a)}^2={r_2}^2$がある．$C$が$C_1$と$C_2$の両方に接し，$C_2$が$C_1$に外接しているとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$C$と$C_1$の共有点の個数が$1$個であることを示せ．

(2)　$C$と$C_2$の接点の$y$座標の値を求めよ．

(3)　曲線$x^2+y^2={r_1}^2$$\text{（}x\geqq 0\text{）}$を$C_3\text{，}$曲線$x^2+{(y-a)}^2={r_2}^2$$\text{（}x\geqq 0\text{）}$を$C_4$とする．$C\text{，}$$C_3\text{，}$$C_4$によって囲まれた部分の面積を求めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)　$a^4-2a^2{b}^2-2a^2{c}^2+b^4-2b^2{c}^2+c^4$を因数分解せよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(2)　円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=a\text{，}$$\mathrm{BC}=b\text{，}$$\mathrm{CD}=c\text{，}$$\mathrm{DA}=d$とする．四角形$\mathrm{ABCD}$の面積は，${\displaystyle \frac{1}{4}}\sqrt{(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+c-d)}$であることを示せ．

【２】　数列$\{a_n\}$を

$a_n={\displaystyle \frac{1}{2}}n+{\displaystyle \frac{3}{8}}{(-3)}^{n-1}+{\displaystyle \frac{1}{8}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．以下の問いに答えよ．

(1)　$a_1$と$a_2$の値を求めよ．

(2)　${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k-{\displaystyle \frac{{(-3)}^{n+1}}{32}}$を$n$の多項式で表せ．

(3)　$n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots$に対して$a_n$が整数であることを，数学的帰納法を用いて証明せよ．

【３】　$xy$平面上に曲線$C_1\text{：}y=2x^3-3x$がある．$a>0$とし，$C_1$を$x$軸方向に$a\text{，}$$y$軸方向に$3a$だけ平行移動した曲線を$C_2$とする．$C_1$と$C_2$が異なる$2$点で交わるとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$a$の値の範囲を求めよ．

(2)　$C_1$と$C_2$で囲まれた部分の面積を$S$とする．$S$の最大値を求めよ．