2019　滋賀県立大学　後期MathJax

【１】

(1)　$a>0$とする．定積分${\displaystyle {\int }_0^{\frac{a}{2}}}{x}^2\sqrt{a^2-x^2}\mathit{dx}$を求めよ．

【１】

(2)　$1$から$6$の番号が重複なく付けられた$6$つの押しボタンがある．そのうち$3$つが「当たり」のボタンで，残り$3$つが「はずれ」のボタンになっている．これら$6$つのボタンの中から$4$つのボタンを選んで押すことを$1$回の試行として考える．ただし，$1$回の試行の開始時に，$3$つの「当たり」ボタンの番号は無作為に決定される．また，$1$回の試行において，$3$つの「当たり」ボタンをすべて押すことができた場合を「大当たり」と呼ぶ．

(ア)　$1$回の試行において，「大当たり」となる確率を求めよ．

(イ)　$4$回の試行を行ったとき，少なくとも$1$回が「大当たり」となる確率を求めよ．

【１】

(3)　正五角形$\mathrm{ABCDE}$を考える．点$\mathrm{B}$から直線$\mathrm{CD}\text{，}$直線$\mathrm{AC}$に下ろした垂線をそれぞれ$\mathrm{BP}\text{，}$$\mathrm{BQ}$とする．このとき，$\mathrm{\angle CQP}+\mathrm{\angle BCQ}$を求めよ．

【２】　$a>1$とする．曲線$C\text{：}y=2\log x$上の点$\mathrm{A}$$(a,2\log a)$における接線と法線をそれぞれ$l\text{，}$$m$とする．また，$l$と$x$軸との交点を$\mathrm{P}\text{，}$$m$と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}$とする．ただし，$\log$は自然対数である．

(1)　$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$a$を用いて表せ．

(2)　$\mathrm{PQ}=8\log a$となるときの$a$の値を求めよ．

(3)　$C$と$x$軸との交点を$\mathrm{R}\text{，}$$\mathrm{\angle PAR}=\theta$とする．$\mathrm{P}$の$x$座標が$0$となるときの$\tan \theta$の値を求めよ．

【３】　$a$は$a>3$を満たす定数とする．座標平面に，原点を中心とする半径$2$の円と，点$(a,0)$を中心とする半径$1$の円がある．$2$つの円の両方に外接する円の半径を$r\text{，}$中心を$\mathrm{P}$とし，$r$が変化するときの$\mathrm{P}$の軌跡を$C$とする．

(1)　$r$の最小値およびそのときの$\mathrm{P}$の座標を答えよ．ただし，答えのみでよい．

(2)　$C$と直線$x=a$によって囲まれた部分を$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．

【４】　$a\text{，}$$b$は$a^2+b^2=1$を満たす実数とする．また，$2$次方程式$x^2+ax+b=0$の$2$つの解を$\alpha \text{，}$$\beta$とする．ただし，$\left|\beta \right|\geqq \left|\alpha \right|$とする．

(1)　$\alpha \text{，}$$\beta$が実数でないとき，$\left|\beta \right|$の最大値を求めよ．

(2)　$\alpha \text{，}$$\beta$が実数のとき，$\left|\beta \right|$の最大値を求めよ．ただし，$a\geqq 0$とする．