2019　滋賀県立大学　前期MathJax

【１】　原点を$\mathrm{O}$とする座標空間に点$\mathrm{A}$$(-3,0,0)\text{，}$点$\mathrm{B}$$(0,0,1)$がある．$\mathrm{A}$を通り$\overrightarrow{h}=(2,1,1)$に平行な直線上に点$\mathrm{C}$があり，$\overrightarrow{h}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}=-5$を満たしているとする．

(1)　$\mathrm{C}$の座標を求めよ．

(2)　$\mathrm{▵ABC}$の面積$S$を求めよ．

(3)　$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の定める平面$\mathrm{ABC}$上にある点$\mathrm{D}$が$\overrightarrow{\mathrm{OD}}\perp \overrightarrow{\mathrm{AB}}$かつ$\overrightarrow{\mathrm{OD}}\perp \overrightarrow{h}$を満たすとき，$\mathrm{D}$の座標を求めよ．

【２】　$\mathrm{AB}=3\text{，}$$\mathrm{AC}=1$である$\mathrm{▵ABC}$において，$\mathrm{\angle A}=\theta$とする（$\theta$の単位は弧度法による）．また，$\mathrm{▵ABC}$の内接円の半径を$r$とし，内接円と辺$\mathrm{BC}$との接点を$\mathrm{D}$とする．

(1)　$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CD}$および$r$を$\theta$を用いて表せ．

(2)　極限$\underset{\theta \to +0}{\lim }{\displaystyle \frac{\mathrm{CD}}{r\theta }}$を求めよ．

【３】　関数

$f(x)=\log (x+1)-\log (x^2+1)$$\text{（}x>-1\text{）}$

を考える．ただし，$\log$は自然対数である．

(1)　$f(x)$の極値とそれを与える$x$の値を求めよ．

(2)　曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

【４】　$a\text{，}$$b$は自然数とする．

(1)　$a^2-b^2=5$を満たす$a\text{，}$$b$の組をすべて求めよ．

(2)　$p$は素数とする．$a^3-b^3=p^2$を満たす最小の$p$とそのときの$a\text{，}$$b$の組をすべて求めよ．