2019　名古屋市立大　前期MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$(x^2-y-1)(x-y+1)(y-1)<0$を満たす点$(x,y)$の領域を図示せよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　関数$f(x)=-x^3+a{x}^2-11x+5$（$a$は実数）の$x=-2$における微分係数は$-51$である．このとき，$y=f(x)$のグラフと$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　右の表は$100$点満点で実施した数学と国語のテストの結果をまとめた表である．数学と国語の点数の相関係数が$0.85$のとき，$a$と$b$を求めよ．

【２】　正の実数$x$に対して，初項${\log }_{3}x\text{，}$公比$-3$の等比数列の初項から第$n$項までの和を$S_n(x)$とする．ただし，$n$は自然数とする．次の問いに答えよ．

(1)　$S_n(x)$を$x$と$n$を用いて表せ．

(2)　関数$f(x)={\log }_3(3x^2-x-1)$とするとき，不等式$f(x)>1$を満たす$x$の値の範囲を求めよ．

(3)　(2)の$f(x)$に対して，不等式$S_n(x)>{\displaystyle \frac{1-3^n\cos n\pi }{12}}f(x)$を満たす$x$の値の範囲を求めよ．

【３】　以下の条件を同時に満たすベクトル$\overrightarrow{p}\text{，}$$\overrightarrow{q}$について考える．

ただし，$\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{q}$は$2$つのベクトル$\overrightarrow{p}\text{，}$$\overrightarrow{q}$の内積を表す．次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{p}\text{，}$$\overrightarrow{q}$のなす角を$\theta$$\text{（}0\leqq \theta \leqq \pi \text{）}$とする．$\theta$の値をすべて求めよ．

(2)　(1)の各$\theta$に対して，$2$つのベクトル$\overrightarrow{p}\text{，}$$\overrightarrow{q}$の大きさの比をすべて求めよ．

(3)　$xy$平面上に，原点を始点とするベクトル$\overrightarrow{p}=(1,0)$および$\overrightarrow{q}=(q_1,q_2)$$\text{（}{q}_2\geqq 0\text{）}$を考える．$\overrightarrow{p}\text{，}$$\overrightarrow{q}$が上記の条件$\text{①}$から$\text{④}$を同時に満たすとき，ベクトル$\overrightarrow{q}$を$xy$平面上にすべて図示せよ．

【４】　サイコロを使って以下の$\text{①}$から$\text{③}$の操作を行うことで，図(a)にある$xy$平面上の点${\mathrm{A}}_1\text{，}$${\mathrm{A}}_2\text{，}$${\mathrm{A}}_3\text{，}$${\mathrm{A}}_4\text{，}$${\mathrm{A}}_5\text{，}$${\mathrm{A}}_6$のいくつかを線分で結んだ折れ線または$1$点からなる図形を作る．

$\text{①}$　サイコロを投げて出た数字を投げた順番に並べる．ただし，一度出た数字がもう一度出たら，そこでサイコロを投げるのをやめるものとする．できた数字の列を$\{i_1,i_2,\cdots ,i_n\}$とする．

$\text{②}$　$n=2$のとき，$1$点${\mathrm{A}}_{i_1}$からなる図形となる．$n\geqq 3$のとき，${\mathrm{A}}_{i_1}\text{，}$${\mathrm{A}}_{i_2}\text{，}$$\cdots \text{，}$${\mathrm{A}}_{i_{n-1}}$を線分で順次結ぶ．

$\text{③}$　最後の数字$i_n$が$i_{n-1}$または$i_{n-2}$と一致するとき，新たな点や線分を加えることなく作図を終了する．それ以外のときは，${\mathrm{A}}_{i_{n-1}}$と$A_{i_n}$を線分で結び作図を終了する．

例えば，$\{3,4,6,5,5\}$や$\{3,4,6,5,6\}$の順で数字が出たときの図形は図(b)となる．また$\{3,4,6,5,2,4\}$の順で数字が出たときの図形は図(c)となる．なお，点${\mathrm{A}}_1\text{，}$${\mathrm{A}}_2\text{，}$${\mathrm{A}}_3\text{，}$${\mathrm{A}}_4\text{，}$${\mathrm{A}}_5\text{，}$${\mathrm{A}}_6$は原点を中心とする同一円周上にあり，それらの座標は${\mathrm{A}}_1=(1,0)\text{，}$${\mathrm{A}}_2=({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}})\text{，}$${\mathrm{A}}_3=({\displaystyle \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}})\text{，}$${\mathrm{A}}_4=(-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}},{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}})\text{，}$${\mathrm{A}}_5=(-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}},-{\displaystyle \frac{1}{2}})\text{，}$${\mathrm{A}}_6=({\displaystyle \frac{1}{2}},-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})$である．次の問いに答えよ．

(1)　作図終了後，図形が点${\mathrm{A}}_1\text{，}$${\mathrm{A}}_2\text{，}$${\mathrm{A}}_3\text{，}$${\mathrm{A}}_4\text{，}$${\mathrm{A}}_5\text{，}$${\mathrm{A}}_6$のうち$3$点を頂点とする三角形となる確率を求めよ．

(2)　作図終了後，図形が点${\mathrm{A}}_1\text{，}$${\mathrm{A}}_2\text{，}$${\mathrm{A}}_3\text{，}$${\mathrm{A}}_4\text{，}$${\mathrm{A}}_5\text{，}$${\mathrm{A}}_6$のうち$3$点を頂点とする直角三角形となる確率を求めよ．

(3)　作図終了後，図形の中に${\mathrm{A}}_1\text{，}$${\mathrm{A}}_2\text{，}$${\mathrm{A}}_3\text{，}$${\mathrm{A}}_4\text{，}$${\mathrm{A}}_5\text{，}$${\mathrm{A}}_6$のいずれかを$3$頂点とする直角三角形が含まれる確率を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　${(x+2y)}^2{(x+2y+3z)}^4$を展開したとき，$x^4{y}^2$と$x^3{y}^{2}z$の係数をそれぞれ求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　$0\leqq \theta \leqq \pi$とするとき，等式$\cos 4\theta =\cos 2\theta$を満たす$\theta$の値をすべて求めよ．

【３】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{2}{x}}\log x$$\text{（}x>0\text{）}$について，次の問いに答えよ．ただし，$\log x$は自然対数を表す．

(1)　不定積分${\displaystyle \int }f(x)\mathit{dx}$を求めよ．

(2)　$a$を正の実数とする．曲線$y=f(x)$と$x$軸および直線$x=a\text{，}$$x=2a$で囲まれた部分の面積$S(a)$を求めよ．

(3)　$S(a)$が最小となるときの$a$の値と，そのときの$S(a)$の値を求めよ．

【１】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{2}{x}}\log x$$\text{（}x>0\text{）}$について，次の問いに答えよ．ただし，$\log x$は自然対数を表す．

(1)　$a$を正の実数とする．曲線$y=f(x)$と$x$軸および直線$x=a\text{，}$$x=2a$で囲まれた部分の面積$S(a)$を求めよ．

(2)　$S(a)$が最小となるときの$a$の値と，そのときの$S(a)$の値を求めよ．

【３】　サイコロを使って以下の$\text{①}$から$\text{③}$の操作を行うことで，図(a)にある$xy$平面上の点${\mathrm{A}}_1\text{，}$${\mathrm{A}}_2\text{，}$${\mathrm{A}}_3\text{，}$${\mathrm{A}}_4\text{，}$${\mathrm{A}}_5\text{，}$${\mathrm{A}}_6$のいくつかを線分で結んだ折れ線または$1$点からなる図形を作る．

$\text{①}$　サイコロを投げて出た数字を投げた順番に並べる．ただし，一度出た数字がもう一度出たら，そこでサイコロを投げるのをやめるものとする．できた数字の列を$\{i_1,i_2,\cdots ,i_n\}$とする．

$\text{②}$　$n=2$のとき，$1$点${\mathrm{A}}_{i_1}$からなる図形となる．$n\geqq 3$のとき，${\mathrm{A}}_{i_1}\text{，}$${\mathrm{A}}_{i_2}\text{，}$$\cdots \text{，}$${\mathrm{A}}_{i_{n-1}}$を線分で順次結ぶ．

$\text{③}$　最後の数字$i_n$が$i_{n-1}$または$i_{n-2}$と一致するとき，新たな点や線分を加えることなく作図を終了する．それ以外のときは，${\mathrm{A}}_{i_{n-1}}$と$A_{i_n}$を線分で結び作図を終了する．

例えば，$\{3,4,6,5,5\}$や$\{3,4,6,5,6\}$の順で数字が出たときの図形は図(b)となる．また$\{3,4,6,5,2,4\}$の順で数字が出たときの図形は図(c)となる．なお，点${\mathrm{A}}_1\text{，}$${\mathrm{A}}_2\text{，}$${\mathrm{A}}_3\text{，}$${\mathrm{A}}_4\text{，}$${\mathrm{A}}_5\text{，}$${\mathrm{A}}_6$の座標は${\mathrm{A}}_1=(1,0)\text{，}$${\mathrm{A}}_2=({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}})\text{，}$${\mathrm{A}}_3=({\displaystyle \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}})\text{，}$${\mathrm{A}}_4=(-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}},{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}})\text{，}$${\mathrm{A}}_5=(-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}},-{\displaystyle \frac{1}{2}})\text{，}$${\mathrm{A}}_6=({\displaystyle \frac{1}{2}},-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})$である．次の問いに答えよ．

(1)　作図終了後，図形が点${\mathrm{A}}_1\text{，}$${\mathrm{A}}_2\text{，}$${\mathrm{A}}_3\text{，}$${\mathrm{A}}_4\text{，}$${\mathrm{A}}_5\text{，}$${\mathrm{A}}_6$のうち$3$点を頂点とする三角形となる確率を求めよ．

(2)　作図終了後，図形が点${\mathrm{A}}_1\text{，}$${\mathrm{A}}_2\text{，}$${\mathrm{A}}_3\text{，}$${\mathrm{A}}_4\text{，}$${\mathrm{A}}_5\text{，}$${\mathrm{A}}_6$のうち$3$点を頂点とする直角三角形となる確率を求めよ．

(3)　作図終了後，図形の中に${\mathrm{A}}_1\text{，}$${\mathrm{A}}_2\text{，}$${\mathrm{A}}_3\text{，}$${\mathrm{A}}_4\text{，}$${\mathrm{A}}_5\text{，}$${\mathrm{A}}_6$のいずれかを$3$頂点とする直角三角形が含まれる確率を求めよ．

【４】　数列$\{a_n\}$を次のように定める．

$a_1=1\text{，}$

$a_{n+1}=\{\begin{array}{ll}{a}_n-1& a_n>0\text{のとき}\\ n& a_n\leqq 0\text{のとき}\end{array}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

次の問いに答えよ．

(1)　$a_n=10000$となる最小の$n$の値を求めよ．

(2)　$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$で表す．$S_n\geqq 10000$となる最小の$n$の値を求めよ．