2019　静岡文化芸術大学　前期MathJax

【１】　浜松市の$50$戸の住宅について面積の調査を行ったところ，$45$戸分の面積の平均値は$70{\mathrm{m}}^2$であった．残りの$5$戸の面積は，それぞれ$80{\mathrm{m}}^2\text{，}$$83{\mathrm{m}}^2\text{，}$$70{\mathrm{m}}^2\text{，}$$77{\mathrm{m}}^2\text{，}$$90{\mathrm{m}}^2$となっていた．ただし，住宅の面積は，すべて$40{\mathrm{m}}^2$以上である．次の各問いに答えよ．

(1)　$50$戸の住宅の面積の平均値を求めよ．

(2)　$50$戸の住宅のうち何戸かについて，住宅の$25{\mathrm{m}}^2$部分を店舗に改修したため，$50$戸の住宅の面積の平均値が$60{\mathrm{m}}^2$に減少した．店舗に改修した住宅の戸数を求めよ．

【２】　$3$辺の長さが，$\mathrm{AB}=2\text{，}$$\mathrm{BC}=\sqrt{3}\text{，}$$\mathrm{AC}=1$の$\mathrm{▵ABC}$がある．$\mathrm{▵ABC}$の外心を$\mathrm{O}\text{，}$内心を$\mathrm{I}$とし，直線$\mathrm{AI}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，次の各問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{AI}:\mathrm{ID}$を求めよ．

(2)　線分$\mathrm{OI}$の長さを求めよ．

【３】　実数$x\text{，}$$y\text{，}$$z$の関数

$F=x^2+2y^2+3z^2$$+2xy$$+2zx+2y$

の最小値と，そのときの$x\text{，}$$y\text{，}$$z$の値を求めよ．

【４】　$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき，関数$y=2\sqrt{3}\sin \theta \cos \theta$$+{\sin }^2\theta$$-{\cos }^2\theta$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$\theta$の値を求めよ．

【５】　方程式$2^x+3^x$$+5^x={10}^x$を解け．

【６】　放物線$y=-x(x+6)$上に点$\mathrm{P}$をとる．放物線と$x$軸で囲まれた図形の面積が，原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{P}$を結ぶ直線$\mathrm{OP}$によって$2$等分されるとき，点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

【７】　$2$でも$3$でも割り切れない自然数を小さい順に並べた数列$\{a_n\}$について，次の各問いに答えよ．

(1)　数列$\{a_n\}$の階差数列を$\{b_n\}\text{，}$$\{b_n\}$の階差数列を$\{c_n\}$とするとき，$a_6\text{，}$$b_6\text{，}$$c_6$をそれぞれ求めよ．

(2)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

【８】　$1$辺の長さが$12$である正方形の折り紙を，以下の手順に従って作業するとき，次の各問いに答えよ．

〔手順〕

$\text{①}$　折り紙の各頂点を反時計回りに$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$とする．

$\text{②}$　線分$\mathrm{AB}\text{，}$線分$\mathrm{CD}$の中点を，それぞれ$\mathrm{M}\text{，}$$\mathrm{N}$とする．

$\text{③}$　$\mathrm{▵AMD}\text{，}$四角形$\mathrm{MBND}\text{，}$$\mathrm{▵BCN}$を，それぞれ面$P\text{，}$面$Q\text{，}$面$R$とする．

$\text{⑤}$　$P\perp Q\text{，}$$R\perp Q$となるように，線分$\mathrm{MD}\text{，}$線分$\mathrm{BN}$で谷折りする．ただし面$Q$に関して，点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{C}$は同じ側にある．

$\text{⑤}$　面$Q$を$xy$平面上におき，点$\mathrm{B}$を原点，線分$\mathrm{BN}$を$x$軸上にとる．ただし，点 $\mathrm{A}$の$x$座標，$y$座標，$z$座標は，すべて正になるようにする．

(1)　点$\mathrm{A}$から線分$\mathrm{MD}$におろした垂線の長さを求めよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を求めよ．

〔留意事項〕※配布した折り紙は，書く，折る，破るなど自由に利用してよい．