2019　長野県立大学　前期MathJax

$a_1=4\text{，}$$a_{n+1}=3a_n+n\cdot 2^n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

(1)　$2$つの放物線に囲まれた部分の面積$S_1$を求めよ．

(2)　放物線$C_1$と点$\mathrm{A}$$(a,-3a^2)$で接する直線$l$の方程式を求めよ．

(3)　放物線$C_2$と直線$l$の交点を$\alpha \text{，}$$\beta$とする（ただし，$\alpha <\beta$）．放物線$C_2$と直線$l$に囲まれた部分の面積を$S_2$とするとき，$S_2$を$\alpha \text{，}$$\beta$を含む式で表せ．

(4)　$a$の取り得る値の範囲を$-5<a<-1$とする．このとき，$x\leqq a$の範囲で$2$つの放物線と直線$l$に囲まれた部分の面積を$S_3\text{，}$$x\geqq a$の範囲で$2$つの放物線と直線$l$に囲まれた部分の面積を$S_4$とする．$S_3+S_4=S_1$となる$a$の値を求めよ．

(1)　このビジネスを展開する重点エリアとして$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の各拠点を頂点とする三角形に注目する．$\mathrm{▵ABC}$の面積$S_1$の値を求めよ．

(2)　本部$\mathrm{O}$と各拠点との距離$R$の値を求めよ．

(3)　拠点$\mathrm{C}$を閉鎖して新たに拠点$\mathrm{D}$を設置することを検討する．他の拠点と同じく$\mathrm{D}$も本部$\mathrm{O}$から距離$R$の位置に置く．検討にあたり，本部$\mathrm{O}$の位置を原点とする$XY$座標平面において，拠点$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$とを結ぶ線分$\mathrm{AB}$の中点が$Y$軸上の点$\mathrm{M}$$(0,m)$に位置するように点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$をとる（ただし$m<0$）．$\mathrm{O}$と$\mathrm{D}$とを結ぶ線分$\mathrm{OD}$が$X$軸の正の向きとのなす角を$\theta$とする．$0\leqq \theta \leqq \pi$のとき，$\mathrm{▵ABD}$の面積$S_2$を$\theta$を用いて表せ．また，$S_2$が最大となるように$\mathrm{D}$を設置するとき，移設前の$\mathrm{▵ABC}$に比べて面積はどれだけ増加するか，その増分を求めよ．

(4)　次に，既設の$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の$3$拠点はそのままの位置に残し，新たに$4$か所目の拠点$\mathrm{E}$を追加することを検討する．他の拠点と同じく$\mathrm{E}$も本部$\mathrm{O}$から距離$R$の位置に置く．検討にあたり，(3)で用いた$XY$座標平面と原点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の位置はそのままとする．いま，$\mathrm{O}$と$\mathrm{E}$とを結ぶ線分$\mathrm{OE}$が$\mathrm{B}$と$\mathrm{C}$とを結ぶ線分$\mathrm{BC}$と$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$以外の点$\mathrm{F}$で交わるように$\mathrm{E}$を新設し，四角形$\mathrm{ABEC}$の面積$S_3$が最大となるようにしたい．$\mathrm{\angle CBE}=\alpha$とおくとき，$S_3$を$\alpha$を用いた式で表し，$S_3$の最大値を求めよ．

(1)　文字列$\mathrm{GLOBAL}$は何番目の文字列か．

(2)　$345$番目の文字列は何か．