2019　長野大学(公立)　中期MathJax

$y=\sqrt{{(x-a)}^2}+\sqrt{{(x+a)}^2}$$\cdots \text{①}$

を考える．次の問いに答えなさい．

1.　関数$\text{①}$のグラフをかきなさい．

2.　 $-a\leqq x\leqq a$のとき，関数$\text{①}$と$x$の$2$次関数

$y=x^2+2ax+a$$\cdots \text{②}$

が$1$点で交わるための$a$の条件を求めなさい．

1.　$b\ne 2$かつ$b\ne 3$となることを証明しなさい．

2.　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$がすべて$4$以下のとき，$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を求めなさい．

1.　図１のような数直線上の原点$0$から出発し，偶数が出たら正の方向に$1$だけコマを進め，奇数が出たら負の方向に$1$だけコマを進める．$6$回終了した時点でちょうど出発点の原点$0$にコマが戻っている確率を求めなさい．

図１

図２

2.　図２のうような正方形の左下頂点を出発点とし，偶数が出たら時計回りの方向に辺に沿って隣の頂点にコマを移動させ，奇数が出たら反時計回りの方向に辺に沿って隣の頂点にコマを移動させる．$6$回終了した時点でちょうど出発点の左下頂点にコマが戻っている確率を求めなさい．

図３

3.　図３のような座標軸上に立方体がある．原点$\mathrm{O}$を出発点とし，$1$または$4$（$x$グループ）が出たら$x$軸に平行に辺に沿って隣の頂点にコマを移動させ，$2$または$5$（$y$グループ）が出たら$y$軸に平行に辺に沿って隣の頂点にコマを移動させ，$3$または$6$（$z$グループ）が出たら$z$軸に平行に辺に沿って隣の頂点にコマを移動させる．同じグループの値が連続で$2$回出たら，来た道を戻ることになる．$6$回終了した時点でちょうど出発点の原点$\mathrm{O}$にコマが戻っている確率を求めなさい．

1.　$n=5$のとき，角度$\alpha$を求めなさい．

2.　$n=9$のとき，角度$\beta$を求めなさい．

3.　$n\geqq 5$のすべての$n$に対して，角度$\alpha$と$\beta$と$\gamma$の間に$\alpha +\gamma =\beta$が成り立つことを証明しなさい．