2019　公立小松大　前期MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$4^x-9\cdot 2^{x-1}+2=0$をみたす$x$を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　$3x^2+5y=30$をみたす$x\text{，}$$y$のうちで，${\log }_{3}x+{\log }_{9}y$を最大にするものを求めよ．

【２】　原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上の点$\mathrm{A}$$(1,1)$と点$\mathrm{B}$$(3,2)$に対し次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$を求めよ．

(2)　$\mathrm{▵OAB}$の面積を求めよ．

(3)　点$\mathrm{A}$を中心とし点$\mathrm{B}$を通る円を考える．この円の$\mathrm{B}$における接線と$x$軸の交点の$x$座標を求めよ．

【３】　実数$a$に対し関数

$y=e^{2x+1}-ax$

を考える．

(1)　この関数のグラフが$x$軸と接するときの$a$の値を求めよ．また，そのときの接点の$x$座標を求めよ．

(2)　(1)で求めた$a$に対するこの関数のグラフと$x$軸，$y$軸で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転しでできる回転体の体積を求めよ．

【４】　$k$を整数，$n$を自然数とする．次の問いに答えよ．

(1)　関数$\sin x$について，

$|\sin (x+k\pi )|=|\sin x|$

を示せ．

(2)　積分

${\displaystyle {\int }_{k\pi }^{(k+1)\pi }}|\sin x|\mathit{dx}$

を求めよ．

(3)　$n\pi \leqq \theta <(n+1)\pi$をみたす$\theta$について，積分

${\displaystyle {\int }_0^{\theta }}|\sin x|\mathit{dx}$

を求めよ．

(4)　次の極限値を求めよ．

$\underset{\theta \to n\pi }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{\theta -n\pi }}({\displaystyle {\int }_0^{\theta }}|\sin x|\mathit{dx}-{\displaystyle \frac{2}{\pi }}\theta )$