2019　富山県立大学　前期工学部

【１】　$a\ne 7$とし，放物線$y=(1+a^2)x^2+(a-7)x-4$を$C$とする．また，座標平面の原点を$\mathrm{O}\text{，}$$C$の頂点を$\mathrm{P}\text{，}$$C$と$y$軸との交点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，$\mathrm{▵OPQ}$の面積が1より小さくなるように，$a$の値の範囲を定めよ．

【２】　$1$個のさいころを$3$回続けて投げ，出る目を順に$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$a_3$とする．座標平面上で，点$(1,1)$を中心とする半径$1$の円を$C_1\text{，}$点$(a_1,a_2)$を中心とする半径$a_3$の円を$C_2$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a_1=1$かつ$C_1$と$C_2$が外接する確率を求めよ．

(2)　$a_1\ne 1$かつ$a_2\ne 1$かつ$C_1$と$C_2$が外接する確率を求めよ．

(3)　$C_1$と$C_2$が外接する確率を求めよ．

【３】　曲線$y={\displaystyle \frac{1}{x}}$$\text{（}x>0\text{）}$を$C$とする．また，$C$上の点$(t,{\displaystyle \frac{1}{t}})$における接線の方程式を$y=ax+b$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　 $a\text{，}$$b$を$t$の式で表せ．

(2)　$I={\displaystyle {\int }_1^2}(ax+b)\mathit{dx}$とおくとき，$I$の最大値を求めよ．

(3)　${\log }_{e}2>{\displaystyle \frac{2}{3}}$を示せ．

【４】　次の定積分を求めよ．