2019　横浜市立大　前期MathJax

【１】　以下の問いに答えなさい．ただし，解答のみを解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

(1)　正の約数の個数が$10$個である$2$桁の自然数をすべて求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．ただし，解答のみを解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

(2)　漸化式

$a_{n+1}={\displaystyle \frac{a_n}{2n{a}_n+3}}\text{，}$

$a_1=1$

で定められる数列$a_n$の一般項を$n$の式で表しなさい．ただし，$n$は$1$以上の自然数とします．

【１】　以下の問いに答えなさい．ただし，解答のみを解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

(3)

${\displaystyle \frac{1}{\tan {\displaystyle \frac{\pi }{24}}}}-\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{6}$

は整数です．その値を求めなさい．

【１】　　以下の問いに答えなさい．ただし，解答のみを解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

(4)　$b\text{，}c$を実数とし，$f(x)=x^2+bx+c$とします．また，$g(x)$を

$\{\begin{array}{c}x\leqq -1\text{のとき，}g(x)=-1\text{，}\\ x>-1\text{のとき，}g(x)=x\end{array}$

と定めます．$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフが異なる$2$点で接するとき，$b$と$c$の値を求めなさい．

【２】　以下の問いに答えなさい．

(1)　$x\text{，}y\text{，}z$が$2$以上の整数であるとき，不等式

${\displaystyle \frac{xyz-1}{(x-1)yz}}<{\displaystyle \frac{xyz}{(x-1)(y-1)(z-1)}}$

が成り立つことを証明しなさい．

(2)　$x\text{，}y\text{，}z$が$3\leqq x<y<z$を満たす奇数であるとき，不等式

$1<{\displaystyle \frac{xyz-1}{(x-1)(y-1)(z-1)}}<3$

が成り立つことを証明しなさい．

(3)　関数

$g(x)=x^3+A{x}^2+Bx+C$

が次の二つの条件(ⅰ)，(ⅱ)を満たすとき，$A\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の値を求めなさい．

【３】　以下の問いに答えなさい．

(1)　平面上に$3$本の直線を引くとき，右図のようにすれば，平面を$7$つの領域に分割することができます．平面上に$5$本の直線を引くとき，平面を最大でいくつの領域に分割することができますか．答えのみ記しなさい．

(2)　$n$を$2$以上の自然数とします．平面上に$n$本の直線を引くとき，それらの交点の数は最大でいくつですか．$n$を使った式で表しなさい．

(3)　$n$を自然数とします．平面上に$n$本の直線を引くとき，平面を最大でいくつの領域に分割することができますか．$n$を使った式で表しなさい．

【４】　以下の問いに答えなさい．

(1)　$t=\tan x$と置換することで，不定積分

${\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{dx}{\sin x\cos x}}$

を求めなさい．

(2)　$n$を自然数とするとき，関数${\displaystyle \frac{\cos x}{{\sin }^{n}x}}$の導関数を求めなさい．

(3)　$n$を$3$以上の自然数とするとき，

${\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{dx}{{\sin }^{n}x\cos x}}$$=-{\displaystyle \frac{1}{(n-1){\sin }^{n-1}x}}+{\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{dx}{{\sin }^{n-2}x\cos x}}$

が成り立つことを証明しなさい．

(4)　定積分

${\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{dx}{{\sin }^{3}x\cos x}}$

の値を求めなさい．

【５】　$a\text{，}b$を正の実数とします．確率変数$X$の取り得る値の範囲が$-1\leqq X\leqq 3$であり，その確率密度関数$f(x)$は

$\{\begin{array}{ll}-1\leqq x\leqq 0\text{のとき，}& f(x)=a(x+1)\text{，}\\ 0\leqq x\leqq 3\text{のとき，}& f(x)=bx+a\end{array}$

と表されています．また，$X$の期待値$E(X)$は${\displaystyle \frac{2}{3}}$です．このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　$a$と$b$の値を求めなさい．

(2)　$X$の分散$V(X)$の値を求めなさい．

(3)　確率変数

$Y=18X+5$

を考えます．$Y$と同じ期待値，分散を持つ母集団から大きさ$117$の標本を無作為に抽出し，その標本平均を$\bar{Y}$とします．このとき，標本の大きさ$117$は十分に大きいとみなせるので，$\bar{Y}$は近似的に正規分布に従うとします．

(ア)　$\bar{Y}$の期待値と分散を求めなさい．

(イ)　$16\leqq \bar{Y}\leqq 18$となる確率の近似値を小数点以下第$2$位まで求めなさい．

(注)正規分布表を添付