2019　前橋工科大学　前期MathJax

【１】　$m$を$3$以上の自然数とし，$\alpha =\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{2m-1}}$とする．また，実数$t$に対して，

$f(t)=t^3-m{t}^2+{\displaystyle \frac{2\alpha (m-1)}{m}}t-1$

とする．次の問いに答えなさい．

(1)　$\cos {\displaystyle \frac{5}{12}}\pi$の値を求め，$\cos {\displaystyle \frac{5}{12}}\pi >{\displaystyle \frac{1}{4}}$であることを示しなさい．ただし，$1.41<\sqrt{2}<1.42\text{，}$$1.73<\sqrt{3}<1.74$であることを用いてよい．

(2)　(1)の結果を用いて，$f(m)>0$であることを示しなさい．

(3)　実数$t$についての方程式$f(t)=0$は，$m-1$と$m$の間に少なくとも$1$つの解をもつことを示しなさい．

【２】　$\mathrm{O}$を原点とする空間内に$2$点$\mathrm{A}$$(a,0,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,0,a)$$\text{（}a>0\text{）}$をとり，線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とする．また，$0<s<1$とし，線分$\mathrm{OM}$を$s:(1-s)$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．次の問いに答えなさい．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OM}}\perp \overrightarrow{\mathrm{AB}}$であることを示しなさい．

(2)　点$\mathrm{P}$$(x,y,z)$は$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\perp \overrightarrow{\mathrm{OM}}$を満たし，その座標は$y^2=2xz$を満たしている．$\left|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\right|$を$a$と$s$を用いて表しなさい．

(3)　(2)の点$\mathrm{P}$に対して$\left|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\right|=|\overrightarrow{\mathrm{QM}}|$となる$s$の値を求めなさい．また，このとき，点$\mathrm{Q}$を中心として，$xy$平面に接する球の方程式を求めなさい．

【３】　次の問いに答えなさい．

(1)　$y=\log x$のグラフを用いて，次の不等式が成り立つことを示しなさい．ただし，$k$は$2$以上の自然数とする．

${\displaystyle {\int }_{k-1}^k}\log x\mathit{dx}\leqq \log k<{\displaystyle {\int }_k^{k+1}}\log x\mathit{dx}$

(2)　$2$以上の自然数$n$に対して，次の不等式が成り立つことを示しなさい．

$e{\left({\displaystyle \frac{n}{e}}\right)}^n<n!<{\displaystyle \frac{e^2}{4}}{\left({\displaystyle \frac{n+1}{e}}\right)}^{n+1}$

【４】　$f(x)=\sqrt{4-x^2}-x+2$とする．次の問いに答えなさい．

(1)　$f^{\prime }(x)=0$を満たす$x$の値を求めなさい．

(2)　関数$y=f(x)$について，増減，凹凸を調べ，そのグラフの概形をかきなさい．

(3)　曲線$y=f(x)\text{，}$$x$軸および直線$x=-2$で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めなさい．