2019　高崎経済大学　前期MathJax

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答は答えのみでよい．

(1)　$\overrightarrow{a}=(3,-1)$に垂直な単位ベクトルを求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答は答えのみでよい．

(2)　$9^{{\log }_{3}5}$の値を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答は答えのみでよい．

(3)　${\displaystyle \frac{5}{4}}\sqrt{{\displaystyle \frac{6n}{7}}}$が自然数となるような最小の自然数$n$を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答は答えのみでよい．

(4)　$x$の$3$次方程式$x^3+a{x}^2+bx+12=0$の$1$つの解が$-2i$であるとき，実数$a\text{，}$$b$の値を求めよ．また，他の解を求めよ．ただし，$i$は虚数単位とする．

【２】　$xy$平面上に$3$点$\mathrm{A}$$(0,4)\text{，}$$\mathrm{B}$$(-4,1)\text{，}$$\mathrm{C}$$(4,-5)$をとる．次の各問に答えよ．

(1)　点$\mathrm{A}$と直線$\mathrm{BC}$の距離$h\text{，}$および$\mathrm{▵ABC}$の面積$S$を求めよ．

(2)　$\mathrm{▵ABC}$で内角$\mathrm{\angle B}$の大きさを$B$とするとき，$\sin B$の値を求めよ．

(3)　${\mathrm{AP}}^2+{\mathrm{BP}}^2+{\mathrm{CP}}^2=86$を満たす点$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．

【３】　右の図のように，ある街には東西に平行に$5$本，南北に平行に$6$本の道がある．これらの道を通って，最短距離でスタート地点からゴール地点へ向かう．以下の各問に答えよ．ただし，(1)，(2)の解答は答えのみでよい．

(1)　道順は全部で何通りあるか．

(2)　地点$\mathrm{A}$を通る道順は全部で何通りあるか．

　ここで，各交差点で，東に行くか，北に行くかは等確率とし，一方しかいけないときは確率$1$でその方向に行くものとする．以下の各問に答えよ．

(3)　地点$\mathrm{B}$を通る確率を求めよ．

(4)　地点$\mathrm{A}$を通る確率を求めよ．

(5)　地点$\mathrm{A}$と地点$\mathrm{B}$のうち，少なくとも一方を通る確率を求めよ．

【４】　次の各問に答えよ．

(1)　$a$を定数とする．$x$の方程式$\cos x-\cos a=0$を解け．

(2)　角$\alpha \text{，}$$\beta$が$\alpha +\beta \leqq \pi \text{，}$$\alpha \geqq 0\text{，}$$\beta \geqq 0$を満たすとき，$\cos \alpha +\cos \beta \geqq 0$を示せ．

【５】　$a\text{，}$$b$は実数の定数で，$a>0$とする．関数$f(x)=2x^3+3(1-a)x^2-6ax-b$について，以下の各問に答えよ．

(1)　$f(x)$の極大値，極小値，およびそのときの$x$の値を求めよ．

(2)　$0\leqq x\leqq 1$における$f(x)$の最小値を求めよ．

(3)　$0\leqq x\leqq 1$において，不等式$f(x)>0$が常に成り立つための$a\text{，}$$b$の満たす条件を求めよ．また，その条件を満たす点$(a,b)$の存在する領域を$ab$平面に図示せよ．