2019　会津大学　前期MathJax

【１】　以下の問いに答えよ．ただし，$i$は虚数単位である．

(1)　次の積分を求めよ．

(ⅰ)　${\displaystyle {\int }_0^1}{e}^x\sqrt{e^x-1}\mathit{dx}=\boxed{\text{イ}}$

(ⅱ)　${\displaystyle {\int }_1^e}{(\log x)}^2\mathit{dx}=\boxed{\text{ロ}}$

【１】　以下の問いに答えよ．ただし，$i$は虚数単位である．

(2)　$\underset{n\to \infty }{\lim }({\displaystyle \frac{1}{n+1}}+{\displaystyle \frac{1}{n+2}}+{\displaystyle \frac{1}{n+3}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{n+1}})$の値を求めよ．$\boxed{\text{ハ}}$

【１】　以下の問いに答えよ．ただし，$i$は虚数単位である．

(3)　数列$\{a_n\}$が

$a_1=2\text{，}$$a_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{2}}(a_n+1)$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定義されるとき，一般項を求めよ．$a_n=\boxed{\text{ニ}}$

【１】　以下の問いに答えよ．ただし，$i$は虚数単位である．

(4)　方程式$z^2=-1+\sqrt{3}i$を解け．$z=\boxed{\text{ホ}}\text{，}$$\boxed{\text{ヘ}}$

【１】　以下の問いに答えよ．ただし，$i$は虚数単位である．

(5)　整数全体の集合$U$を全体集合とし，その部分集合を

$A=\{x|x\text{は}-8\leqq 5x+3<28\text{を満たす整数}\}\text{，}$

$B=\{x|x\text{は}|3x-11|\leqq 14\text{を満たす整数}\}$

とする．$\bar{A}\cap B$を要素を書き並べて表せ．$\bar{A}\cap B=\boxed{\text{ト}}$

【１】　以下の問いに答えよ．ただし，$i$は虚数単位である．

(6)　直線$y=x+2$と放物線$y=x^2-kx+8$が$0\leqq x\leqq 7$の範囲で共有点を$2$つ持つような定数$k$の値の範囲を求めよ．$\boxed{\text{チ}}$

【２】　四面体$\mathrm{OABC}$の辺$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{OC}$の中点をそれぞれ$\mathrm{M}\text{，}$$\mathrm{N}$とし，$\mathrm{▵ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，以下の空欄をうめよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{MN}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$で表すと$\overrightarrow{\mathrm{MN}}=\boxed{\text{イ}}$である．

(2)　$\mathrm{▵OMC}$において，線分$\mathrm{OG}\text{，}$$\mathrm{MN}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$で表すと$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\boxed{\text{ロ}}$である．

(3)　四而体$\mathrm{OABC}$のすべての辺の長さが$1$のとき，$\cos \mathrm{\angle COM}=\boxed{\text{ハ}}$である．

【３】　袋の中に一文字ずつ文字の書かれた$7$枚のカードが入れてあり，それぞれに書いてある文字は$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{I}\text{，}$$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{U}\text{，}$$\mathrm{U}\text{，}$$\mathrm{Z}$である．この袋からすべてのカードを一枚ずつ取り出して左から右に並べる．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$7$文字のどこかに$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{I}\text{，}$$\mathrm{Z}\text{，}$$\mathrm{U}$の文字がこの順に続けて現れる確率を求めよ．$\boxed{\text{イ}}$

(2)　$\mathrm{U}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{I}\text{，}$$\mathrm{Z}\text{，}$$\mathrm{U}$の文字がこの順に現れる確率を求めよ．ただし，続けて現れなくてもよい．$\boxed{\text{ロ}}$

(3)　$\mathrm{A}$の右隣に$\mathrm{I}$があり，$\mathrm{Z}$の右隣に$\mathrm{<mspace\; width=".2em"></mspace>U}$がある確率を求めよ．$\boxed{\text{ハ}}$

【４】　関数$f(x)=3^x+3^{-x}-3^{2x+1}-3^{-2x+1}$について，以下の空欄をうめよ．

(1)　$t=3^x+3^{~x}$とおいて，$f(x)$を$t$の式で表すと$\boxed{\text{イ}}$である．

(2)　$t=3^x+3^{~x}$のとりうる値の範囲は$\boxed{\text{ロ}}$である．

(3)　$f(x)$は$x=\boxed{\text{ハ}}$のとき最大値$\boxed{\text{ニ}}$をとる．

【５】　関数$f(x)=(1+\sin x)\sin x$$\text{（}0\leqq x\leqq 2\pi \text{）}$を考える．$y=f(x)$のグラフを$C$とする．このとき，以下の問いに答えよ．(結論に至る過程も記述すること．)

(1)　$f(x)$の増減，極値，$C$と$x$軸との共有点を調べて，$C$を座標平面上に描け．$C$の凹凸や変曲点は調べなくてよい．

(2)　$f(x)$の最小値を$a$とするとき，$C$と直線$y=a$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

【６】　$a$を正の定数とする．自然数$n$に対して次の不等式がなりたつことを，数学的帰納法を用いて証明せよ．

${(a+2)}^n\geqq na+2$