2019　秋田県立大学　前期MathJax

【１】　以下の設問(1)〜(3)に答えよ．ただし，すべて答えのみでよい．

(1)　$2^{\log x}$を微分せよ．ただし$\log x$は$x$の自然対数である．

【１】　以下の設問(1)〜(3)に答えよ．ただし，すべて答えのみでよい．

(2)　$\mathrm{A}$が$20$段ある階段の$10$段目に立っている．$1$個のさいころを投げて，$4\text{，}$$5$の目が出たとき$\mathrm{A}$は階段を$1$段上がり，$4\text{，}$$5$以外の日が出たとき$\mathrm{A}$は階段を$2$段降りるとする．さいころを$3$回投げ終わったとき，$\mathrm{A}$が階段の$7$段目にいる確率を求めよ．

【１】　以下の設問(1)〜(3)に答えよ．ただし，すべて答えのみでよい．

(3)　次の不等式を解け．

${\log }_{\frac{1}{2}}(-3x+1)$$\geqq 2{\log }_{\frac{1}{2}}x-2$

【２】　$a$と$b$を正の定数，$x$と$t$を実数として，$2$つの関数$f(x)=a{x}^2$$+2a^{2}x+1$と$g(t)=\sqrt{b}\sin t$$+\cos t$を考える．座標平面上で$y=f(x)$のグラフが$x$軸に接するとき，次の設問(1)～(4)に答えよ．ただし，設問(1)は答えのみでよい．

(1)　$a$の値を求めよ．

(2)　$\left|x\right|\leqq 2$のとき，$f(x)$がとる値の範囲を定めよ．

(3)　$g(t)$がとる値の範囲を$b$を用いて表せ．

(4)　$t$の関数$f(g(t))$の最大値が$9$のとき，$b$の値を求めよ．

【３】　園座標平面上を運動する$2$つの点$\mathrm{A}(x_{\mathrm{A}},y_{\mathrm{A}})\text{，}$$\mathrm{B}(x_{\mathrm{B}},y_{\mathrm{B}})$の各座標は，時刻$t$の関数として次の式で表される．

$x_{\mathrm{A}}=\sin t+{\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}$$y_{\mathrm{A}}=-\cos t+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$

$x_{\mathrm{B}}=2\cos 2t\text{，}$$y_{\mathrm{B}}=2\sin 2t$

　このとき，以下の設問(1)～(4)に答えよ．ただし，設問(1)，(2)は答えのみでよい．

(1)　点$\mathrm{A}$の軌跡および点$\mathrm{B}$の軌跡を表す方程式を$x\text{，}$$y$を用いてそれぞれ示せ．

(2)　点$\mathrm{A}$の軌跡および点$\mathrm{B}$の軌跡が座標軸と交わる点の座標を求めよ．また，点$\mathrm{A}$の軌跡および点$\mathrm{B}$の軌跡を $1$つの座標平面上に図示せよ．

(3)　時刻$t$における点$\mathrm{A}$の速度$\overrightarrow{v_{\mathrm{A}}}$および点$\mathrm{B}$の速度$\overrightarrow{v_{\mathrm{B}}}$をそれぞれ求めよ．

(4)　時刻$t$が$0\leqq t<2\pi$の範囲にあるとき，$\overrightarrow{v_{\mathrm{A}}}$と$\overrightarrow{v_{\mathrm{B}}}$が垂直となる$t$の値をすべて求めよ．

【４】　$n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots$とする．

$f_n(x)=x^n{e}^{-x}$

$a_n={\displaystyle {\int }_0^1}{f}_n(x)\mathit{dx}$

について，以下の設問(1)～(5)に答えよ．ただし，$e$は自然対数の底を表す．

(1)　関数$f_1(x)=x{e}^{-x}$の極値とグラフの変曲点の座標を求めよ．

(2)　$f_1(x)$のグラフの概形をかけ

(3)　$a_1$の値を求めよ．

(4)　$n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots$に対して，$a_{n+1}$を$a_n$と$n$を用いて表せ．

(5)　$a_3$の値を求めよ．