2019　岩手県立大学　後期MathJax

【１】　以下の問いに答えなさい．

[問１]　$a+b+c=2\text{，}$$a^2+b^2+c^2=2\text{，}$${\displaystyle \frac{1}{a}}+{\displaystyle \frac{1}{b}}+{\displaystyle \frac{1}{c}}=1$であるとき，次の設問に答えなさい．

(a)　$ab+bc+ca$の値を求めなさい．

(b)　$abc$の値を求めなさい．

(c)　$a^4+b^4+c^4$の値を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．

[問２]　方程式$(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)-3=0$を解きなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．

[問３]　$n$を正の整数とするとき，$2\cdot 4^{n-1}+9\cdot {81}^{n-1}$が$11$の倍数であることを証明しなさい．

【２】　$\mathrm{▵OAB}$について，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおき，辺$\mathrm{OA}\text{，}$$\mathrm{OB}$の中点をそれぞれ$\mathrm{M}\text{，}$$\mathrm{N}$とし，線分$\mathrm{AN}$と$\mathrm{BM}$の交点を$\mathrm{P}$とする．また，点$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$はそれぞれ辺$\mathrm{OA}\text{，}$$\mathrm{OB}$上にあり，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=t\overrightarrow{a}$$({\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq t\leqq 1)$とする．点$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{R}$が同一直線上にあるとき，以下の問いに答えなさい．

[問１]　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表しなさい．

[問２]　$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$t$と$\overrightarrow{b}$を用いて表しなさい．

[問３]　$\mathrm{▵OAB}$の面積を$1$とするとき，次の設問に答えなさい．

(a)　$\mathrm{▵OQR}$の面積を$t$を用いて表しなさい．

(b)　$\mathrm{▵OQR}$の面積の最大値，最小値とそのときの$t$の値をそれぞれ求めなさい．

【３】　サイコロを振って出た目に応じ，次の規則に従って$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の各点にコインを積んでいく．

$1$が出たら点$\mathrm{A}$にコインを$1$枚積む．

$2$が出たら点$\mathrm{B}$にコインを$1$枚積む．

$3$が出たら点$\mathrm{C}$にコインを$1$枚積む．

$4\text{，}$$5\text{，}$$6$のいずれかが出たら何もしない．

このとき，以下の問いに答えなさい．なお，各問いにおいては，各点にコインが$1$枚も積まれていない状態からサイコロを振り始めることとする．

[問１]　サイコロを$n$回振ったとき，点$\mathrm{B}$と点$\mathrm{C}$のいずれにもコインが積まれていない確率を答えなさい．

[問２]　サイコロを$n$回振ったとき，$1$枚以上のコインが積まれている点が$\mathrm{A}$だけである確率を答えなさい．

[問３]　サイコロを$n$回振ったとき，$1$枚以上のコインが積まれている点が$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$のちょうど$2$個である確率を答えなさい．ただし，$n\geqq 2$とする．

[問４]　サイコロをちょうど$n$回振ったとき，$1$枚以上のコインが積まれている点が初めて$3$個になる確率を答えなさい．ただし，$n\geqq 3$とする．

【４】　次の$2$つの定積分$I_n\text{，}$$J_n$について，以下の問いに答えなさい．ただし，$n$は正の整数とする．

$I_n={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}}{\displaystyle \frac{\cos x}{\cos x+n\sin x}}\mathit{dx}$

$J_n={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}}{\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x+n\sin x}}\mathit{dx}$

[問１]　$n=1$のとき，すなわち$I_1\text{，}$$J_1$について，次の設問に答えなさい．

(a)　$I_1+J_1$の値を求めなさい．

(b)　$I_1-J_1$の値を求めなさい．

(c)　$I_1\text{，}$$J_1$の値をそれぞれ求めなさい．

[問２]　$I_n\text{，}$$J_n$の値を，積分記号を用いずに，$n$を用いて，それぞれ表しなさい．