2019　岩手県立大学　前期MathJax

【１】　以下の問いに答えなさい．

[問１]　次の設問に答えなさい．

(a)　八進法の${154}_{(8)}$を十進法で表しなさい．

(b)　十進法の${\displaystyle \frac{13}{4}}$を二進法の小数で表しなさい．

(c)　${1111}_{(2)}-{110.101}_{(2)}$を計算しなさい．計算結果は二進法の小数で表しなさい．

(d)　正の整数$n$は$4$の倍数であり，二進法で表すと$9$桁である．$n$がとりうる値の個数を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．

[問２]　$a$は$a<2$を満たす実数の定数である．$x^2+4(a-1)x+3a^2-4a<0$を満たす整数$x$が$-1$のみであるとき，$a$の値の範囲を求めなさい．

【２】　以下の問いに答えなさい．

[問１]　$3$次方程式$x^3+a{x}^2+bx+24=0$における解の$1$つが$-3$であり，他の$2$つの解の差が$2$であるとき，定数$a\text{，}$$b$の値と他の$2$つの解をすべて求めなさい．

【２】　以下の問いに答えなさい．

[問２]　$c>0\text{，}$$d>0$のとき，不等式$(2c+d)({\displaystyle \frac{1}{c}}+{\displaystyle \frac{2}{d}})\geqq 8$を証明しなさい．また，等号が成り立つのはどのようなときか，答えなさい．

【３】　実数$a\text{，}$$b$に対して，

$f(\theta )=\cos 2\theta +4a\cos \theta -2b+3$$(-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

とする．このとき，以下の問いに答えなさい．

[問１]　$t=\cos \theta$とおくとき，$f(\theta )$を$t$の式で表しなさい．また，$t$の範囲を求めなさい．

[問２]　方程式$f(\theta )=0$が奇数個の解を持つとき，$a\text{，}$$b$の満たす条件を求めなさい．

[問３]　$b=1$のとき，方程式$f(\theta )=0$が異なる$4$個の解を持つための$a$の満たす条件を求めなさい．

[問４]　方程式$f(\theta )=0$が異なる$4$個の解をもつとき，$a\text{，}$$b$の満たす条件が表す領域を$ab$平面上に図示しなさい．

【４】　$2$つの放物線$C_1\text{：}y=2x^2-8x-7\text{，}$$C_2\text{：}y=2x^2-4x-3$に共通な接線を$l$とし，$C_1\text{，}$$C_2$との接点をそれぞれ${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2$とするとき，以下の問いに答えなさい．

[問１]　$C_1$と$C_2$の交点の$x$座標を求めなさい．

[問２]　${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2$の$x$座標をそれぞれ求めなさい．

[問３]　$C_1\text{，}$$C_2$と$l$で囲まれた図形の面積を求めなさい．