2019　公立千歳科学技術大学　Ⅱ期MathJax

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(1)　${\displaystyle \frac{2x-3}{(x-1)(x+2)}}={\displaystyle \frac{a}{x-1}}-{\displaystyle \frac{b}{x+2}}$が，$x$について恒等式となるような定数$a$と$b$の値を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(2)　半径$1$の円に内接する正$16$角形の面積を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(3)　${101}^{100}$の下$5$桁を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(4)　$20$本のくじの中に当たりくじが$5$本ある．この中から$2$本のくじを同時に引くとき，少なくとも$1$本が当たる確率を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(5)　整式$P(x)=3x^3+a^2{x}^2-a-9$が$x-1$で割り切れるように定数$a$の値を定めなさい．

【２】　$\left|\overrightarrow{a}\right|=3\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=4\text{，}$$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=6$のとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　$|t\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$の値が最小になるときの$t$および$|t\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$の値をそれぞれ求めなさい．解答欄には途中の計算過程も書きなさい．

(2)　(1)のとき，$\overrightarrow{a}$と$t\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$とは垂直であることを示しなさい．

【３】　$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$として$\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$であることを解答用紙の図を用いて説明しなさい．ただし，図は二等辺三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=a\text{，}$$\mathrm{\angle BAD}=\mathrm{\angle CAD}=\theta$であることを表している．

【４】　$a_1=1\text{，}$$a_{n+1}=3a_n+2$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$で表される数列$\{a_n\}$について以下の問いに答えなさい．解答欄には途中の計算過程も書きなさい．

(1)　$\{a_n\}$の一般項を求めなさい．

(2)　${\displaystyle \sum _{n=1}^m}{a}_n$を求めなさい．

(3)　${\displaystyle \sum _{n=1}^m}{a}_n>5000$を満たす最小の$m$の値を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(4)　${\displaystyle \frac{d}{\mathit{dx}}}(x{e}^{3x^2})$を求めなさい．ただし，$e$は自然対数の底である．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(5)　$\underset{x\to \infty }{\lim }(\sqrt{2x^2+x+3}-\sqrt{2x^2-x+3})$の値を求めなさい．

【４】　$y=e^{-x}\cos x$$\text{（}0\leqq x\leqq 2\pi \text{）}$のグラフをかきなさい．ただし，$e$は自然対数の底である．作図に際して，$x$軸との交点，$y$軸との交点，極大点，極小点，変曲点が存在するときは，その点の名称と座標をグラフ上に明記しなさい．