2019　公立千歳科学技術大学　Ⅰ期MathJax

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(1)　$x$と$y$を実数とおいて$x^2+xy+y^2-y-1=0$のとき，$x$の最大値と最小値を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(2)　$\{\begin{array}{l}-4\leqq x^2-4x\\ x^2-4x<-2\end{array}$を満たす$x$の範囲を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(3)　$0\leqq x<2\pi$のとき$2\sin x=-\sqrt{3}$の解を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(4)　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}$の$6$人がくじ引きで順番を決めて横一列に並ぶとき，両端が$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$である確率を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(5)　$\tan 165\mathrm{°}$の値を求めなさい．

【２】　$n$を自然数とするとき，$2^{6n-5}+3^{2n}$が$11$の倍数であることを，数学的帰納法を用いて証明しなさい．

【３】　関数$y=\sin x+2\sin x\cos x+\cos x$について以下の問いに答えなさい．解答欄には途中の計算過程も書きなさい．

(1)　$t=\sin x+\cos x$とするとき，$y$を$t$の式で表しなさい．

(2)　$t$がとりうる値の範囲を求めなさい．

(3)　$y$の最大値と最小値を求めなさい．

【４】　$2$乗すると$-5+12i$となる複素数$z$について以下の問いに答えなさい．ここで，$i=\sqrt{-1}$とする．解答欄には途中の計算過程も書きなさい．

(1)　$z$を求めなさい．

(2)　$p$と$q$を実数の係数とする$2$次方程式$x^2+px+q=0$が$z$を解にもつとき，$p$と$q$を求めなさい．

(3)　(2)のとき，$2$次方程式のもう一方の解を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(4)　${\displaystyle {\int }_0^1}x\sqrt{1-x^2}\mathit{dx}$の値を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(5)　$\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{\sin x-\tan x}{x^3}}$の値を求めなさい．

【４】　原点を$\mathrm{O}$とする座標平面において，$2$つの定点$\mathrm{A}$$(-1,0)$と$\mathrm{B}$$(1,0)$からの距離の積が$1$となる点$\mathrm{P}$によって描かれる曲線$C$について以下の問いに答えなさい．

(1)　曲線$C$の方程式が${(x^2+y^2)}^2=2(x^2-y^2)$で与えられることを示しなさい．

(2)　$\mathrm{O}$を極とする極座標$(r,\theta )$を用いて曲線$C$の極方程式を求めなさい．解答欄には途中の計算過程も書きなさい．

(3)　$x>0\text{，}$$y>0$を満たす範囲において$r$が存在する$\theta$の範囲を答えなさい．

(4)　曲線$C$の概形をかきなさい．ただし，曲線だけをかけばよい．