2019　琉球大学　後期理学部MathJax

【１】　$x>-2\text{，}$$x\ne 0$の範囲で，関数$f(x)$を$f(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}+\log (x+2)$と定める．次の問いに答えよ．

問１　$f(x)$の導関数$f^{\prime }(x)$を求めよ．

問２　$f(x)$の増減と極値を調べ，$y=f(x)$のグラフをかけ．ただし，グラフの凹凸は調べなくてよい．

問３　$k$を実数とする．直線$y=k$と曲線$y=f(x)$の交点の個数を調べよ．

【２】　$m\text{，}$$n$を自然数とし，$A(m,n)={\displaystyle {\int }_0^1}{x}^m{(1-x)}^n\mathit{dx}$とする．次の問いに答えよ．

問１　$A(m,1)$を$m$を用いて表せ．

問２　$n\geqq 2$のとき，関係式$A(m,n)={\displaystyle \frac{n}{m+1}}A(m+1,n-1)$が成り立つことを示せ．

問３　問１，問２の結果を使って，$A(m,n)$を$m\text{，}$$n$を用いて表せ．

【３】　$i$を虚数単位とし，$\alpha =\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{7}}+i\sin {\displaystyle \frac{2\pi }{7}}$とおく．また，$A=\alpha +{\alpha }^2+{\alpha }^4\text{，}$$B={\alpha }^3+{\alpha }^5+{\alpha }^6$とおく．次の問いに答えよ．

問１　$A+B$の値を求めよ．

問２　$AB$の値を求めよ．

問３　$\sin {\displaystyle \frac{2\pi }{7}}+\sin {\displaystyle \frac{4\pi }{7}}+\sin {\displaystyle \frac{8\pi }{7}}$の値を求めよ．

【４】　三角形$\mathrm{OAB}$において，$\mathrm{OA}=5\text{，}$$\mathrm{OB}=4\text{，}$$\mathrm{AB}=6$とし，線分$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{C}$とおく．また，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$とおく．次の問いに答えよ．

問１　$\overrightarrow{c}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$で表せ．

問２　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．

問３　$\overrightarrow{c}$の大きさを求めよ．

問４　点$\mathrm{A}$から直線$\mathrm{OC}$におろした垂線の交点を$\mathrm{H}$とおく．$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$で表せ．