2019　琉球大学　前期MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

問１　不定方程式$21x-10y=1$の整数解で，$0\leqq x\leqq 1000$を満たすものの個数を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

問２　任意の自然数$n$に対して，$n^5-n$は$30$で割り切れることを示せ．

【１】　次の問いに答えよ．

問３　$0\mathrm{°}\leqq \theta <360\mathrm{°}$のとき，方程式$\cos (2\theta )+\sin \theta =1$を解け．

【２】　$a$は正の実数とする．$y=2a{x}^2-(5a-1)x+2a+1$で表される放物線を$C$とする．次の問いに答えよ．

問１　放物線$C$は$a$の値によらず，$2$定点を通る．その$2$定点の座標をそれぞれ求めよ．

問２　放物線$C$と放物線$y=x(1-x)$がただ$1$つの共有点をもつとき，その共有点の座標と$a$の値を求めよ．

問３　問１で求めた$2$定点を通る直線と放物線$C$で囲まれる部分の面積を$S$とする．$S$の値を$a$を用いて表せ．

【１】　$a$と$b$は定数で，$a\ne 0$かつ$b\ne 0$とする．次の問いに答えよ．

問１　関数$f(x)=e^{ax}\sin (bx)$と$g(x)=e^{ax}\cos (bx)$について，$af(x)-bg(x)$と$bf(x)+ag(x)$を微分せよ．

問２　不定積分${\displaystyle \int }{e}^{ax}\sin (bx)\mathit{dx}$と${\displaystyle \int }{e}^{ax}\cos (bx)\mathit{dx}$を求めよ．

問３　曲線$y=e^{-x}\sin x$$\text{（}0\leqq x\leqq \pi \text{）}$と$x$軸で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．

【２】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{\log x}{x^2}}$$\text{（}x>0\text{）}$とする．$f(x)$の最大値を与える$x$を$a$とする．次の問いに答えよ．

問１　関数$f(x)$の増減を調べることにより，$a$の値および最大値$f(a)$を求めよ．

問２　曲線$y=f(x)$上の点$(t,f(t))$における接線が原点$(0,0)$を通るとき，その接線の方程式を求めよ．

問３　曲線$y=f(x)$と$x$軸および直線$x=a$で囲まれた図形の面積を求めよ．

【３】　数列$\{a_n\}$が

$a_1=1\text{，}$$a_2=2\text{，}$$a_{n+2}=\sqrt{{\displaystyle \frac{a_n}{a_{n+1}}}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定められるとき，次の問いに答えよ．

問１　$b_n={\log }_2{a}_n$とする．$b_{n+2}$を$b_{n+1}\text{，}$$b_n$を用いて表せ．

問２　問１で求めた関係式を次のように表すとき，定数$p\text{，}$$q$を求めよ．

$\{\begin{array}{l}{b}_{n+2}-p{b}_{n+1}=q(b_{n+1}-p{b}_n)\\ b_{n+2}-q{b}_{n+1}=p(b_{n+1}-q{b}_n)\end{array}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

　ただし，$p\geqq q$とする．

問３　問２で求めた$p\text{，}$$q$を用いて数列$\{c_n\}\text{，}$$\{d_n\}$を次のように定める．

$c_n=b_{n+1}-p{b}_n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

$d_n=b_{n+1}-q{b}_n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

一般項$c_n\text{，}$$d_n$をそれぞれ求めよ．

問４　一般項$b_n$および極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_{2n}\text{，}$$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_{2n+1}$を求めよ．

【４】　箱の中に赤玉$1$個と白玉$2$個が入っている．この箱から玉を$1$個取り出し，玉の色を見た上で箱に戻すという試行を$n$回繰り返す．赤玉が連続して$m$回以上出た確率を$P(n,m)$とおく．ただし，$n\geqq m\geqq 2$とする．次の問いに答えよ．

問１　$P(2,2)\text{，}$$P(3,2)\text{，}$$P(4,2)$を求めよ．

問２　$P(m,m)\text{，}$$P(m+1,m)\text{，}$$P(m+2,m)$を求めよ．

問３　$n=m+1\text{，}$$m+2\text{，}$$m+3\text{，}$$\cdots \text{，}$$2m$に対し$P(n,m)-P(n-1,m)$を求めよ．

問４　$P(2m,m)$を求めよ．