2019　大分大学　前期MathJax

【１】　$\mathrm{▵ABC}$において，点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に垂線$\mathrm{AH}$を下ろす．線分$\mathrm{AH}$を直径とする円$O$と辺$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{AC}$の交点をそれぞれ$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}$とし，円$O$の半径を$1\text{，}$$\mathrm{BH}=1\text{，}$$\mathrm{CE}=3$とする．

(1)　線分$\mathrm{DB}$の長さを求めなさい．

(2)　線分$\mathrm{HC}$と線分$\mathrm{CA}$の長さをそれぞれ求めなさい．

(3)　$\mathrm{\angle EDH}$の大きさを求めなさい．

【２】　次の条件によって定められる数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$がある．

$a_1=3\text{，}$$b_1=1$

$2a_{n+1}=5a_n+b_n+2^{n+1}+4$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

$2b_{n+1}=a_n+5b_n-2^{n+1}+4$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

(1)　$c_n=a_n+b_n$によって定められる数列$\{c_n\}$の一般項$c_n$を$n$の式で表しなさい．

(2)　$d_n=a_n-b_n$によって定められる数列$\{d_n\}$の一般項$d_n$を$n$の式で表しなさい．

(3)　数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を$n$の式で表しなさい．

(4)　数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とする．$S_n$を$n$の式で表しなさい．

【３】　$t\geqq 1$とし，

$f(t)={\displaystyle {\int }_0^1}|(x+t)(x-t+1)|\mathit{dx}$

とする．

(1)　$f(3)$の値を求めなさい．

(2)　$f(t)$を$t$を用いて表しなさい．

(3)　$f(t)$の最小値とそのときの$t$の値を求めなさい．

【４】　$a$を$1$でない正の定数，$x\text{，}$$y$を$5^x=2^y=a$を満たす実数とする．

(1)　${\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{y}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$とするとき，$a$の値を求めなさい．

(2)　${\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{y}}=b$とするとき，$a^b$の値を求めなさい．

(3)　${\displaystyle \frac{1}{x}}-{\displaystyle \frac{1}{y}}=2$とするとき，$a$の値を求めなさい．

【３】　曲線$C_1\text{：}y=-{\displaystyle \frac{1}{x}}$$\text{（}x>0\text{），}$曲線$C_2\text{：}y=-{\displaystyle \frac{1}{x}}$$\text{（}x<0\text{），}$直線$l\text{：}y=-x\text{，}$点$\mathrm{P}$$(2,-{\displaystyle \frac{1}{2}})$とし，点$\mathrm{Q}$は$C_2$上を動くとする．

(1)　曲線$C_1$と$2$つの直線$l\text{，}$$x=2$で囲まれた部分の面積$S_1$を求めなさい．

(2)　線分$\mathrm{PQ}$の長さが最小になる点$\mathrm{Q}$の$x$座標を$a$とするとき，$a$の値を求めなさい．

(3)　(2)で求めた$a$について，曲線$C_2$と$2$つの直線$l\text{，}$$x=a$で囲まれた部分の面積$S_2$を求めなさい．

【１】　一辺の長さが$a$の正五角形${\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1{\mathrm{D}}_1{\mathrm{E}}_1$がある．対角線を結んで，内部に正五角形${\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_2{\mathrm{C}}_2{\mathrm{D}}_2{\mathrm{E}}_2$を図のように作る．さらに正五角形${\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_2{\mathrm{C}}_2{\mathrm{D}}_2{\mathrm{E}}_2$の対角線を結んで，内部に正五角形${\mathrm{A}}_3{\mathrm{B}}_3{\mathrm{C}}_3{\mathrm{D}}_3{\mathrm{E}}_3$を作る．この操作を繰り返し，正五角形${\mathrm{A}}_k{\mathrm{B}}_k{\mathrm{C}}_k{\mathrm{D}}_k{\mathrm{E}}_k$の内部に正五角形${\mathrm{A}}_{k+1}{\mathrm{B}}_{k+1}{\mathrm{C}}_{k+1}{\mathrm{D}}_{k+1}{\mathrm{E}}_{k+1}$を作るとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　正五角形${\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1{\mathrm{D}}_1{\mathrm{E}}_1$の対角線${\mathrm{B}}_1{\mathrm{E}}_1$の長さを求めなさい．

(2)　正五角形${\mathrm{A}}_k{\mathrm{B}}_k{\mathrm{C}}_k{\mathrm{D}}_k{\mathrm{E}}_k$の一辺の長さを$l_k$とする．無限級数${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }}{l}_k$の収束，発散について調べ，収束するならば和を求めなさい．

【２】　三角形$\mathrm{ABC}$を底面とする四面体$\mathrm{OABC}$において，$\mathrm{OA}=\mathrm{BC}=3\text{，}$$\mathrm{OB}=\mathrm{CA}=\sqrt{13}\text{，}$$\mathrm{OC}=\mathrm{AB}=4$とし，外接球面（$4$頂点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$のすべてを通る一つの球面）の中心を$\mathrm{P}$とする．

　このとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=x\overrightarrow{\mathrm{OA}}+y\overrightarrow{\mathrm{OB}}+z\overrightarrow{\mathrm{OC}}$の形で表しなさい．ただし，$x\text{，}$$y\text{，}$$z$は実数とする．

【３】　微分可能な関数$f(x)\text{，}$$g(x)$について以下の問いに答えなさい．

(1)　$f(x)$とその導関数$f^{\prime }(x)$について，$f^{\prime }(x)-f(x)=0$が任意の実数$x$に対して成り立つとき，関数$f(x)\cdot e^{-x}$は定数関数であることを示しなさい．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(2)　$g(x)$とその導関数$g^{\prime }(x)$について，$g^{\prime }(x)-g(x)=x^2$が任意の実数$x$に対して成り立ち，さらに$g(0)=0$とする．このとき，$x>0$においてつねに$g(x)>0$となることを示しなさい．