2019　長崎大学　前期MathJax

【１】　以下はそれぞれ個別の問題である．各問いに答えよ．

(1)　関数$y={\cos }^{2}x-\sin x$$\text{（}0\leqq x<2\pi \text{）}$の最大値および最小値を求めよ．また，そのときの$x$の値をそれぞれ求めよ．

【１】　以下はそれぞれ個別の問題である．各問いに答えよ．

(2)　等式${\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{y}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$を満たす自然数の組$(x,y)$をすべて求めよ．

【１】　以下はそれぞれ個別の問題である．各問いに答えよ．

(3)　数列$\{a_n\}$が，$a_1=1\text{，}$$a_{n+1}=a_n+2^n+6n^2+4n-1$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$を満たすとき，一般項$a_n$を求めよ．

【１】　以下はそれぞれ個別の問題である．各問いに答えよ．

(4)　平面上の$3$つのベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$において

$\left|\overrightarrow{a}\right|=2\left|\overrightarrow{b}\right|=3\left|\overrightarrow{c}\right|=6k$（$k$は正の定数）

$\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$

が成り立っている．このとき，$\overrightarrow{c}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$で表し，内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$を$k$を用いて表せ．また，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角$\theta$$\text{（}0\leqq \theta \leqq \pi \text{）}$の値を求めよ．

【２】　実数$\alpha \text{，}$$\beta$$\text{（}\alpha \leqq \beta \text{）}$に対し，$p\text{，}$$q$を$p=\alpha +\beta \text{，}$$q=\alpha \beta$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$p=3\text{，}$$q=-1$のとき，$\alpha$と$\beta$の値を求めよ．

(2)　実数$\alpha \text{，}$$\beta$を解とする$x$の$2$次方程式を$p\text{，}$$q$を用いて表せ．また，このときの$p\text{，}$$q$が満たす不等式を求めよ．

(3)　(2)の実数$\alpha \text{，}$$\beta$が，さらに不等式${\alpha }^2+\alpha \beta +{\beta }^2-3\leqq 0$を満たすとき，点$\mathrm{P}$$(p,q)$が存在する領域$E$を$pq$平面に図示せよ．また，領域$E$の面積$S$を求めよ．

(4)　(3)のとき，$\alpha \beta +\alpha +\beta$の最大値および最小値を求めよ．また，そのときの実数$\alpha$と$\beta$の値を求めよ．

【３】　以下はそれぞれ個別の問題である．各問いに答えよ．

(1)　$3$次方程式$x^3-3px+p=0$が異なる$3$つの実数解をもつように，実数$p$の値の範囲を定めよ．

【３】　以下はそれぞれ個別の問題である．各問いに答えよ．

(2)　関数$y=\log x$$\text{（}x>0\text{）}$上の点$\mathrm{P}$$(t,\log t)$における接線を$l$とする．また，点$\mathrm{P}$を通り，$l$に垂直な直線を$m$とする．$2$本の直線$l\text{，}$$m$および$y$軸とで囲まれる図形の面積を$S$とする．$S=5$となるときの点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

【３】　以下はそれぞれ個別の問題である．各問いに答えよ．

(3)　空間内に，$3$点$\mathrm{A}$$(3,-1,1)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,2,4)\text{，}$$\mathrm{C}$$(1,0,4)$がある．点$\mathrm{C}$から直線$\mathrm{AB}$に垂線を引き，交点を$\mathrm{H}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=t\overrightarrow{\mathrm{AB}}$とおくとき，実数$t$の値と線分$\mathrm{CH}$の長さを求めよ．

【３】　以下はそれぞれ個別の問題である．各問いに答えよ．

(4)　原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上に，曲線$C\text{：}{\displaystyle \frac{x^2}{4}}+y^2=1$があり，$C$上に$x$座標を$t$とする第$1$象限の点$\mathrm{P}$をとる．このとき，点$\mathrm{P}$から$x$軸および$y$軸に垂線を下ろし，交点をそれぞれ$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$とする．四角形$\mathrm{OQPR}$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$の最大値と，そのときの$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

【４】　$\mathrm{▵OAB}$の$2$辺$\mathrm{OA}\text{，}$$\mathrm{OB}$上にそれぞれ点$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$があり，直線$\mathrm{CD}$は$\mathrm{▵OAB}$の重心$\mathrm{G}$を通るものとする．

$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=x\overrightarrow{a}$$\text{（}0<x<1\text{），}$$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=y\overrightarrow{b}$$\text{（}0<y<1\text{）}$

とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{CG}:\mathrm{GD}=t:(1-t)\text{，}$$0<t<1$とする．このとき，$x$と$y$をそれぞれ$t$の式で表せ．

(2)　$y$を$x$の式で表せ．また，$0<y<1$より$x$の値の範囲を求めよ．

(3)　$\mathrm{▵OCD}$の面積を$S_1\text{，}$$\mathrm{▵OAB}$の面積を$S_2$とし，$f(x)={\displaystyle \frac{S_1}{S_2}}$とする．関数$f(x)$の増減表をつくり，$f(x)$の最小値と，そのときの$x$と$y$の値を求めよ．

【５】　曲線$C\text{：}y=\sin x$$(0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{2}{3}}\pi )$上の$x$座標が$0$の点を$\mathrm{A}\text{，}$$x$座標が${\displaystyle \frac{2}{3}}\pi$の点を$\mathrm{B}$とする．点$\mathrm{P}$$(p,\sin p)$が曲線$C$上を動くとき，以下の問いに答えよ．

(1)　線分$\mathrm{AP}$の中点を$\mathrm{M}$$(x,y)$とする．ただし，$\mathrm{P}$が$\mathrm{A}$と一致するときは，中点$\mathrm{M}$は$\mathrm{A}$とする．このとき，$x$と$y$をそれぞれ$p$を用いて表せ．また，$\mathrm{M}$がえがく曲線を$C_1\text{：}y=f(x)$とするとき，関数$f(x)$と$x$の範囲を求めよ．

(2)　線分$\mathrm{PB}$の中点を$\mathrm{N}$$(x,y)$とする．ただし，$\mathrm{P}$が$\mathrm{B}$と一致するときは，中点$\mathrm{N}$は$\mathrm{B}$とする．このとき，$x$と$y$をそれぞれ$p$を用いて表せ．また，$\mathrm{N}$がえがく曲線を$C_2\text{：}y=g(x)$とするとき，関数$g(x)$と$x$の範囲を求めよ．さらに，$y=g(x)$の最大値と，そのときの$x$の値を求めよ．

(3)　曲線$C$と直線$\mathrm{AB}$とで囲まれる図形の面積$S$を求めよ．

(4)　$3$つの曲線$C\text{，}$$C_1\text{，}$$C_2$の概形をえがき，$3$つの曲線で囲まれる図形の面積$T$を求めよ．

【６】　$2$次方程式$x^2-x+1=0$の$2$つの解を$\alpha \text{，}$$\beta$$\text{（}-\pi <\arg \beta <\arg \alpha <\pi \text{）}$とする．数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$を

$\begin{array}{ll}{a}_n={\alpha }^n+{\beta }^n& \text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}\\ b_n={(\alpha \beta )}^n-({\alpha }^n+{\beta }^n)+1& \text{（}n=1\text{，}2\text{，}\mathrm{3<mspace\; width=".2em"></mspace>\; <mtext>，</mtext><mi>\cdots </mi><mspace\; width=".2em"></mspace>\; <mtext>）</mtext>}\end{array}$

と定めるとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$b_1\text{，}$$b_2$の値を求めよ．

(2)　$\alpha \text{，}$$\beta$を極形式で表し，一般項$a_n\text{，}$$b_n$を求めよ．

(3)　すべての自然数$n$に対して，$a_n\text{，}$$b_n$は整数であることを示せ．

(4)　複素数平面上の異なる$3$点$\mathrm{A}(1)\text{，}$$\mathrm{B}({\alpha }^n)\text{，}$$\mathrm{C}({\beta }^n)$について，等式

$b_n={|{\alpha }^n-{\beta }^n|}^2$

が成り立つとき，$\mathrm{▵ABC}$はどのような形になるか．また，このときの$a_n$と$b_n$の値を求めよ．

【７】　自然数$n$に対して，関数$f_n(x)$と$g_n(x)$を次のように定める．

$\begin{array}{ll}{f}_n(x)={\displaystyle \frac{a_n}{x}}& \text{（}x>0\text{）}\\ g_n(x)=x{(x-1)}^{2n}& \text{（}x\geqq 0\text{）}\end{array}$

ただし，$a_n$は各自然数$n$に対して定まり，$x$とは無関係な正の実数である．以下の問いに答えよ．

(1)　$x=t$$\text{（}0<t<1\text{）}$における$y=f_n(x)$の接線を$l$とするとき，$l$の式を$t$および$a_n$を用いて表せ．

(2)　(1)の接線$l$は，$x=t$$\text{（}0<t<1\text{）}$において，$y=g_n(x)$にも接しているものとする．すなわち，$f_n(t)=g_n(t)\text{，}$$f_n^{\prime }(t)=g_n^{\prime }(t)$が同時に成り立つ．このとき，$t$および$a_n$をそれぞれ$n$の式で表せ．

(3)　曲線$y=g_n(x)$と$x$軸とで囲まれる図形の面積を$S_n$とするとき，$S_n$を$n$の式で表せ．

(4)　(2)において，接線$l$と$x$軸および$y$軸とで囲まれる図形の面積を$T_n$とする．このとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{S_n}{T_n}}$の値を$e$を用いて表せ．ただし，$e=\underset{n\to \infty }{\lim }{(1+{\displaystyle \frac{1}{n}})}^n$とする．

【８】　方程式$x^3=1$の解を$z_1\text{，}$$z_2\text{，}$$z_3$とし，$0\leqq \arg z_1<\arg z_2<\arg z_3<2\pi$とする．複素数平面上に$3$点$\mathrm{A}(z_1)\text{，}$$\mathrm{B}(z_2)\text{，}$$\mathrm{C}(z_3)$をとるとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$z_1+z_2+z_3\text{，}$$z_1{z}_2+z_2{z}_3+z_3{z}_1\text{，}$$z_1{z}_2{z}_3$の値をそれぞれ求めよ．

(2)　複素数平面上の点$\mathrm{P}(\alpha )$について，線分の長さの$2$乗の和${\mathrm{AP}}^2+{\mathrm{BP}}^2+{\mathrm{CP}}^2$および線分の長さの積$\mathrm{AP}\cdot \mathrm{BP}\cdot \mathrm{CP}$の値を，$\alpha$を用いてそれぞれ表せ．

(3)　複素数平面上の点$\mathrm{P}(\alpha )$について，$\alpha$が${\displaystyle \frac{z_2-\alpha }{z_3-\alpha }}=ri$$\text{（}r>0\text{）}$を満たすとき，${\mathrm{AP}}^2+{\mathrm{BP}}^2+{\mathrm{CP}}^2$の最大値および，そのときの$r$と$\alpha$の値を求めよ．ただし，$i$は虚数単位である．

(4)　(3)において，${\mathrm{AP}}^2+{\mathrm{BP}}^2+{\mathrm{CP}}^2$が最大となるときの$\mathrm{AP}\cdot \mathrm{BP}\cdot \mathrm{CP}$の値を求めよ．

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