2019　九州工業大学　後期MathJax

(ⅰ)　不定方程式$7x+5y=1$の整数解をすべて求めよ．

(ⅱ)　不定方程式$7x+5y=k$の整数解をすべて求めよ．

以下では，(ⅰ)の整数解の$1$つが表す座標平面上の点を$\mathrm{P}$とする．(ⅱ)の整数解が表す点のうち，点$\mathrm{P}$からの距離が最小になる点を$\mathrm{Q}$とする．ただし，距離が最小になる点が複数ある場合には，$x$座標が最小になる点を$\mathrm{Q}$とする．

(ⅲ)　$k=74l+1$（$l$は自然数）のとき，${\mathrm{PQ}}^2$を$l$を用いて表せ．

(ⅳ)　$k=100$のとき，$\mathrm{PQ}$を求めよ．

(ⅰ)　$|1+i|$を求めよ．

(ⅱ)　複素数平面上で，点$z$が$\left|z\right|=1$をみたしながら動くとき，複素数$w=-iz+1-i$が表す点$w$の描く円$C_1$の中心と半径を求めよ．

(ⅲ)　複素数平面上で，点$z$が$|z+i|=1$をみたしながら動くとき，複素数$w={\displaystyle \frac{iz+(i-2)}{z-1}}$が表す点$w$の描く円$C_2$の中心と半径を求めよ．

(ⅳ)　複素数平面上の原点を$\mathrm{O}\text{，}$(ⅱ)で求めた円$C_1$の中心を$\mathrm{P}\text{，}$(ⅲ)で求めた円$C_2$の中心を$\mathrm{Q}$とする．$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$を通る円$C_3$の中心と半径を求め，円$C_3$を複素数平面上に図示せよ．

(ⅰ)　$f(0)\text{，}$$f^{\prime }(0)\text{，}$$f^{″}(0)\text{，}$および$f^{‴}(x)$を求めよ．

(ⅱ)　$x>0$のとき，不等式$f(x)>0$が成立することを示せ．

(ⅲ)　$0<x<1$のとき，不等式$f(x)<x^3$が成立することを示せ．

(ⅳ)　(ⅱ)，(ⅲ)を用いて，$\underset{x\to +0}{\lim }{\displaystyle \frac{e^x-1}{x}}\text{，}$および$\underset{x\to +0}{\lim }{\displaystyle \frac{e^x-1-x}{x^2}}$を求めよ．

(ⅴ)　(ⅳ)を用いて，$\underset{x\to +0}{\lim }{\displaystyle \frac{e^{2x}-1-2x{e}^x}{x^2}}$を求めよ．

(ⅰ)　関数$f(t)=\sin t+\cos t$$(0\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$の最大値と最小値を求めよ．

(ⅱ)　直線$\mathrm{AB}$と$x$軸の交点を$\mathrm{P}$$(g(t),0)$とする．$g(t)$を求めよ．さらに，関数$g(t)$$(0\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$の最大値と最小値を求めよ．

(ⅲ)　$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$の中点を$\mathrm{M}$とする．点$\mathrm{M}$の座標を$\cos t\text{，}\sin t$を用いて表せ．さらに，$0\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲で$t$が変化するとき，点$\mathrm{M}$が描く軌跡を図示せよ．

(ⅳ)　直線$\mathrm{AB}$が$y$軸に平行であるとする．このとき，直線$\mathrm{AB}$と曲線$C$により囲まれた図形を$D$とする．$D$を直線$\mathrm{AB}$のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．